數據結構與算法之“遞歸”

• 2020-6-16
  • 十步殺一人，千里不留行。事了拂衣去，深藏身與名。
    李白 – 《俠客行 》

一、概述

遞歸，在數學與計算機科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。也就是說，遞歸算法是一種直接或者間接調用自身函數或者方法的算法。
遞歸是一種應用非常廣泛的算法（或者編程技巧）。很多數據結構和算法的編碼實現都要用到遞歸，比如 DFS 深度優先搜索、前中後序二叉樹遍歷等等。

去的過程叫“遞”，回來的過程叫“歸”。基本上，所有的遞歸問題都可以用遞推公式來表示。
諸如

f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1

用代碼表示爲

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

二、遞歸滿足的三個條件

那究竟什麼樣的問題可以用遞歸來解決呢？
只要同時滿足以下三個條件，就可以用遞歸來解決。

• 1、一個問題的解可以分解爲幾個子問題的解
  何爲子問題？子問題就是數據規模更小的問題。
• 2、這個問題與分解之後的子問題，除了數據規模不同，求解思路完全一樣。
• 3、存在遞歸終止條件
  把問題分解爲子問題，把子問題再分解爲子子問題，一層一層分解下去，不能存在無限循環，這就需要有終止條件。

三、如何編寫遞歸代碼

重點！！！：寫遞歸代碼最關鍵的是寫出遞推公式，找到終止條件，剩下將遞推公式轉化爲代碼就很簡單了。

來個例子

假如這裏有 n 個臺階，每次你可以跨 1 個臺階或者 2 個臺階，請問走這 n 個臺階有多少種走法？
可以根據第一步的走法把所有走法分爲兩類，第一類是第一步走了 1 個臺階，另一類是第一步走了 2 個臺階。所以 n 個臺階的走法就等於先走 1 階後，n-1 個臺階的走法 加上先走 2 階後，n-2 個臺階的走法。用公式表示就是：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
有了遞推公式，遞歸代碼基本上就完成了一半。我們再來看下終止條件。當有一個臺階時，我們不需要再繼續遞歸，就只有一種走法。所以 f(1)=1。這個遞歸終止條件足夠嗎？我們可以用 n=2，n=3 這樣比較小的數試驗一下。
n=2 時，f(2)=f(1)+f(0)。如果遞歸終止條件只有一個 f(1)=1，那 f(2) 就無法求解了。所以除了 f(1)=1 這一個遞歸終止條件外，還要有 f(0)=1，表示走 0 個臺階有一種走法，不過這樣子看起來就不符合正常的邏輯思維了。所以，我們可以把 f(2)=2 作爲一種終止條件，表示走 2 個臺階，有兩種走法，一步走完或者分兩步來走。
所以，遞歸終止條件就是 f(1)=1，f(2)=2。這個時候，你可以再拿 n=3，n=4 來驗證一下，這個終止條件是否足夠並且正確。
我們把遞歸終止條件和剛剛得到的遞推公式放到一起就是這樣的：
f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2);
有了這個公式，我們轉化成遞歸代碼就簡單多了。最終的遞歸代碼是這樣的：
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return f(n-1) + f(n-2);
}

寫遞歸代碼的關鍵就是找到如何將大問題分解爲小問題的規律，並且基於此寫出遞推公式，然後再推敲終止條件，最後將遞推公式和終止條件翻譯成代碼。

遞歸比較難的地方是，當遞歸調用只有一個分支，也就是說“一個問題只需要分解爲一個子問題”，我們很容易能夠想清楚“遞“和”歸”的每一個步驟，所以寫起來、理解起來都不難。
但是，當我們面對的是一個問題要分解爲多個子問題的情況，遞歸代碼就沒那麼好理解了。
對於分解成多個子問題的情況，人腦幾乎沒辦法把整個“遞”和“歸”的過程一步一步都想清楚。

計算機擅長做重複的事情，所以遞歸正和它的胃口。而我們人腦更喜歡平鋪直敘的思維方式。當我們看到遞歸時，我們總想把遞歸平鋪展開，腦子裏就會循環，一層一層往下調，然後再一層一層返回，試圖想搞清楚計算機每一步都是怎麼執行的，這樣就很容易被繞進去。

對於遞歸代碼，這種試圖想清楚整個遞和歸過程的做法，實際上是進入了一個思維誤區。很多時候，我們理解起來比較喫力，主要原因就是自己給自己製造了這種理解障礙。

那正確的思維方式應該是怎樣的呢？
如果一個問題 A 可以分解爲若干子問題 B、C、D，你可以假設子問題 B、C、D 已經解決，在此基礎上思考如何解決問題 A。而且，你只需要思考問題 A 與子問題 B、C、D 兩層之間的關係即可，不需要一層一層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。屏蔽掉遞歸細節，這樣子理解起來就簡單多了。
因此，編寫遞歸代碼的關鍵是，只要遇到遞歸，我們就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關係，不要試圖用人腦去分解遞歸的每個步驟。

四、使用遞歸的注意事項

• 遞歸代碼要警惕堆棧溢出
  在實際的軟件開發中，編寫遞歸代碼時，我們會遇到很多問題，比如堆棧溢出。而堆棧溢出會造成系統性崩潰，後果會非常嚴重。爲什麼遞歸代碼容易造成堆棧溢出呢？我們又該如何預防堆棧溢出呢？

  函數調用會使用棧來保存臨時變量。每調用一個函數，都會將臨時變量封裝爲棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，纔出棧。系統棧或者虛擬機棧空間一般都不大。如果遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，一直壓入棧，就會有堆棧溢出的風險。

  如何避免出現堆棧溢出呢？

  • 限制遞歸調用的最大深度
    遞歸調用超過一定深度（比如 1000）之後，我們就不繼續往下再遞歸了，直接返回報錯。
    但這種做法並不能完全解決問題，因爲最大允許的遞歸深度跟當前線程剩餘的棧空間大小有關，事先無法計算。如果實時計算，代碼過於複雜，就會影響代碼的可讀性。所以，如果最大深度比較小，比如 10、50，就可以用這種方法，否則這種方法並不是很實用。

• 遞歸代碼要警惕重複計算
  使用遞歸時還會出現重複計算的問題。對於上文中的那個爬樓梯的例子，如果我們把整個遞歸過程分解一下的話，那就是這樣的：
  
  從圖中，我們可以直觀地看到，想要計算 f(5)，需要先計算 f(4) 和 f(3)，而計算 f(4) 還需要計算 f(3)，因此，f(3) 就被計算了很多次，這就是重複計算問題。
  爲了避免重複計算，我們可以通過一個數據結構（比如散列表）來保存已經求解過的 f(k)。當遞歸調用到 f(k) 時，先看下是否已經求解過了。如果是，則直接從散列表中取值返回，不需要重複計算，這樣就能避免剛講的問題了。
  • 時間、空間效率低
    在時間效率上，遞歸代碼裏多了很多函數調用，當這些函數調用的數量較大時，就會積聚成一個可觀的時間成本。在空間複雜度上，因爲遞歸調用一次就會在內存棧中保存一次現場數據，所以在分析遞歸代碼空間複雜度時，需要額外考慮這部分的開銷。

五、將遞歸代碼轉換成非遞歸代碼

遞歸有利有弊，利是遞歸代碼的表達力很強，寫起來非常簡潔；而弊就是空間複雜度高、有堆棧溢出的風險、存在重複計算、過多的函數調用會耗時較多等問題。所以，在開發過程中，我們要根據實際情況來選擇是否需要用遞歸的方式來實現。

一般來說：遞歸代碼一般可以使用，迭代循環的非遞歸寫法
爬樓梯在不使用遞歸的代碼如下|：

nt f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

六、參考資料

• 王爭 – 《極客時間|數據結構與算法之美》