2. 數理統計---樣本分佈

2. 樣本分佈

定義1:
統計量$g(X_1, X_2, ..., X_n)$的分佈稱爲抽樣分佈. 主要介紹與標準正態總體相關的抽樣分佈.
包括, $\chi^2$分佈, $t$分佈和$F$分佈.

2.1 $\chi^2$分佈

定義2:
設$X_1, X_2, ..., X_n$相互獨立, 且都服從標準正態分佈N(0,1), 則稱隨機變量
$X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$
服從自由度爲n的$\chi^2$分佈, 記爲:
$\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2(n)$
性質:

• 1. 可加性
     若$Y_1\sim\chi^2(n), Y_2\sim\chi^2(m)$, 且$Y_1,Y_2$相互獨立, 則有
     $Y_1+Y_2\sim \chi^2(n+m)$
• 2. 數字特徵
     若$Y\sim \chi^2(n)$, 則有$E(Y)=n, D(Y)=2n$
     證明: 存在$X_1, X_2, ..., X_n$獨立同分布, 都服從正態分佈, 使得$Y=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$
     $\begin{aligned} E(Y)&=E(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2)\\ &=E(X_1^2)+E(X_2^2)+...+E(X_n^2)\\ &=n(D(X_1)+E(X_1^2))\\ &=n\\ D(Y)&=D(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2)\\ &=D(X_1^2)+D(X_2^2)+...+D(X_n^2)\\ &=nD(X_1^2)\\ &=n[E(X_1^4)-E(X_1^2)^2]\\ &=n[E(X_1^4)-1]\\ \end{aligned}$

2.2 $t$分佈

定義:
設$X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)$, 且$X$與$Y$相互獨立, 則稱隨機變量
$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$
服從自由度爲n的t分佈, 記爲
$T\sim t(n)$

2.3 $F$分佈

設$X\sim \chi^2(m), Y\sim \chi^2(n)$, 且$X$與$Y$相互獨立, 則稱隨機變量
$F=\frac{X/m}{Y/n}$
服從自由度爲$(m,n)$的$F$分佈, 記爲:
$F\sim F(m,n)$
性質:
若$F\sim F(m,n)$, 則$\frac{1}{F}\sim F(n,m)$

2.4 分位點

定義:
設連續型隨機變量$X\sim f(x)$, 對給定的$\alpha, 0<\alpha<1$, 存在一個實數$x_\alpha$,使得
$P\{X\leq x_\alpha\}=\int_{-\infty}^{x_\alpha}f(x)dx=\alpha$
則稱$x_\alpha$爲密度函數$f(x)$的**$\alpha$分位點.**

常用分位點
標準正態分佈$u_\alpha$
$\chi^2_\alpha$分位點
$t_\alpha$分位點
$F_\alpha(m,n)$分位點