Chango的數學可視化（二） 向量場：梯度，散度，拉普拉斯

起因：

在沒有看梁昌洪老師的公開課之前，對向量場知識一無所知，碰到泊松融合，泊松重建的文章時非常痛苦。現在將知識慢慢補起來，並用程序可視化，一來鞏固知識，二來了解離散化形式和其實際中遇到的問題。

目的：

從Poisson Surface Reconstruction一文得到啓發。

先模擬一個包含目標點雲的數量場，使得模型點雲的數量值爲1，其他爲0。

通過對此數量場進行一次梯度算子，得到一向量場，也就是其表面內法線估計；

再對此向量場進行一次，得一數量場，也就是表面指示數量場，即數值爲1的點就是表面。

當然其中對比實際和論文有很多簡化和差異，不再贅述。

本文就是一個3D版laplace邊緣檢測，但出發點是矢量場的內容。

步驟：

梯度指向最大變化方向

散度表示源狀態

1.建立模型點雲和數量場

簡單認爲模型就是一個完美球。而我們的點雲也都是網格對齊的。

模型點值爲1，其他爲0。

2.使用得矢量場。

對於離散情況得3D梯度算子，我直接從2D形式推廣，也就是

至於怎麼來得，2D形式推導可參考我之前寫的：

Chango的數學Shader世界（十）流體模擬-有限微分形式

此時，只有模型表面點梯度纔不爲0向量，爲模型表面內法線方向。

在離散情況下,由於我們離散梯度計算的原因，表面“接壤”的黑色層和白色層兩個點梯度都不會爲0.

3.再使用得laplace數量場。

爲什麼我不從一開始的數量場1步推導laplace算子到laplace數量場？

因爲一來可以學會梯度場到數量場的轉換，二來在泊松融合等實際應用中，都是將背景圖的梯度場與ROI的梯度場相加，再的，否則僅用ROI的laplace結果然後加上去邊緣必然無法融合。（3D模型泊松融合也是一樣的道理）。

所以分兩步走是必然的。

那麼怎樣離散的laplace怎麼得到呢？這裏有點繞。

我們知道連續函數有，laplace由三部分相加組成。

現在，嘗試取梯度場的x分量組成數量場，此數量場是,因爲我們的梯度場是。

再求此數量場的梯度，則得梯度場,那我們可以發現，所需的是其第一個分量。

我們再來捋一捋，之前算離散梯度是==。

所以，現在有了梯度場，要求，則只要關心x方向vx1,vx2兩個向量的x值，就是對應離散梯度的x1,x2。

所以計算得(vx2.x-vx1.x)/2。

,同理，最後相加即可。

我畫個圖，可能更加清楚：

結果，laplace數量場中，只有靠近球面的點纔不爲0，模型表面被“標記”了。