(源碼)羣體智能優化算法之正餘弦優化算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)

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正餘弦優化算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)

該算法是由澳大利亞的Mirjalili於2016年提出的一種基於種羣的新型隨機優化算法，SCA創建多個初始隨機候選解，然後利用基於正弦和餘弦函數的數學模型，使得這些解朝最優解方向或反向波動。算法源代碼可以關注公衆號後回覆"正餘弦"獲取。

SCA

SCA本質上爲基於種羣的優化算法，而基於種羣的優化算法的共同點是都包含兩個階段：探索和利用。探索階段，算法以較大的概率隨機搜索以充分探索搜索空間，而在利用階段，隨機概率逐漸下降。

SCA使用以下兩個等式進行位置更新：
$X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{1}$

$X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{2}$

其中$X_{i}^{t}$爲第$t$次迭代中當前解在第$i$個維度上的位置，$r_1$/$r_2$/$r_3$爲隨機數，$P_{i}$爲第$i$維終點的位置。

這兩個等式通常按照如下的組合方式使用：
$X_{i}^{t+1}=\left\{\begin{array}{ll} X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4}<0.5 \\ X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4} \geq 0.5 \end{array}\right. \tag{3}$

其中$r_4$爲[0,1]之間的隨機數。

可以看出，在SCA中主要涉及四個參數：$r_1$,$r_2$,$r_3$和$r_4$。參數$r_1$爲下一位置的所在區域（或移動方向），該區域既可以位於解和終點之間的空間內，也可以不在。參數$r_2$定義了朝向或背離終點的距離遠近。參數$r_3\in[0,2]$爲終點引入了隨機權重，以隨機強調($r_3>1$)或弱化($r_3<1$)終點在距離計算時的作用。參數$r_4$用於以相等的概率在正弦和餘弦之間進行切換。

等式(1)和(2)中正弦和餘弦對下一位置的影響如圖1所示，正弦和餘弦的週期模式可以允許一個解在另一個解周圍重新定位，從而保證利用兩個解之間定義的空間，同時爲了探索搜索空間，解應該能夠搜索其對應終點之間之外的空間，而這可以通過改變正弦和餘弦函數的取值範圍來實現，如圖2所示。

圖3展示了改變正餘弦的取值範圍可以更新解的位置，該隨機位置到底是在空間內還是空間外，是通過等式(3)中定義的$r_2\in[0, 2\pi]$來實現的。

爲了平衡探索和利用，正弦和餘弦的取值範圍應該自適應地調整：
$r_{1}=a-t \frac{a}{T}\tag{4}$

其中$t$爲當前迭代，$T$爲最大迭代次數，$a$是一個常數。圖4展示了當$a=2$時取值範圍遞減的過程。

所以通過圖3和圖4可知，當取值範圍在(1,2]和[-2,-1)範圍內時，SCA算法在空間內進行探索，而當取值範圍在[-1,1]之間時，SCA在空間內進行利用。

SCA算法的僞代碼如下：

初始化初始解($X$)

Do

 評估每個代理的目標函數

 更新當前最優解($P=X^*$)

 更新$r_1$,$r_2$,$r_3$和$r_4$

 更新代理的位置(式3)

While($t$<最大迭代次數)

Return全局最優解