堆的最後一個也是最高級的應用是單源最短路徑問題的Dijkstra算法（第3章）的近似線性時間的實現。這個應用非常生動地體現了算法設計與數據結構設計之間的互動。
4.4.1 爲什麼要使用堆
我們在命題3.1中看到了Dijkstra算法的簡單實現需要O(mn)的運行時間，其中m表示邊的數量，n表示頂點的數量。如果只是處理中等規模的圖（有數以千計的頂點和邊），那麼這個速度已經足夠，但對於巨型的圖，還是有點力不從心。我們能不能做得更好？堆能夠實現具有令人驚訝的高速度，也就是近似線性時間的Dijkstra算法。
定理4.4（Dijkstra算法（基於堆）的運行時間） 對於有向圖G = (V,E)，起始頂點s並且所有邊的長度均爲非負值，Dijkstra算法基於堆的實現的運行時間是O((m+n)log n)，其中m=|E|，n=|V |。
雖然O((m+n)log n)不如線性時間的搜索算法那麼快速，但仍然是表現非常出色的運行時間，可以與更爲出色的排序算法相提並論，基本上可以被認定爲是零代價的基本算法。
讓我們回憶一下Dijkstra算法的工作方式（3.2節）。這個算法維護一個頂點子集X⊆V，其中的頂點是它已經計算過最短路徑長度的。在每次迭代中，它識別穿越邊界的邊中具有最低Dijkstra得分的邊。邊(v,w)的Dijkstra得分是指（已經計算的）從起始頂點到v的最短路徑長度len(v)加上這條邊的長度
。換句話說，主循環的每次迭代對所有跨越邊界的邊進行一次最小值計算。Dijkstra算法的簡單實現使用窮舉搜索完成這個最小值計算。把最小值計算的速度從線性時間提升爲對數時間是堆的存在理由，這時我們的大腦裏就會產生這樣的想法：Dijkstra算法需要用到堆！
4.4.2 計劃
我們應該在堆裏存儲什麼？它們的鍵應該是什麼？我們首先想到的是可以把輸入圖中的邊存儲在堆中，然後將目標定爲把簡單實現中的最小值計算（針對邊）替換爲ExtractMin調用。
這種思路是可行的，但是一種更取巧和快速的實現是把頂點存儲在堆中。這可能會讓人覺得奇怪，因爲Dijkstra得分是根據邊而不是頂點來定義的。但換個思路，我們之所以關注Dijkstra得分，是因爲它可以指示我們接下來處理哪個頂點。我們能不能通過堆走個捷徑，直接計算這個頂點呢？
具體的計劃是把尚未處理的頂點（Dijkstra僞碼中的V−X）存儲在一個堆中，同時維護下面提到的不變性。
不變性
頂點w∈V−X的鍵是一條尾頂點爲v∈X且頭頂點爲w的邊的最低Dijkstra得分（如果不存在這樣的邊，則是+∞）。
也就是說，我們需要下面的等式
（4.1）
對於每個w∈V−X在所有時候都是成立的，其中len(v)表示在算法的一次早期迭代中所計算的v的最短路徑的長度（圖4.2）。
圖4.2 頂點w∈V−X的鍵被定義爲頭頂點爲w且尾頂點在X中的邊的最低Dijkstra得分
這是怎麼回事呢？想象一下，我們正在使用兩輪的淘汰賽確定具有最低Dijkstra得分的邊(v,w)，其中v∈X，w∉X。第一輪是在每個頂點w∈V−X之間進行的本地錦標賽，參與者是邊(v,w)，其中v∈X且w是邊的頭頂點。第一輪的勝者就是最低Dijkstra得分競賽的參與者（如果存在）。第一輪的勝者（每個頂點w∈V−X最多有1個勝者）繼續進行第二輪的比賽，最終的冠軍就是第一輪勝者中具有最低Dijkstra得分的那個。這條冠軍邊與窮舉搜索所確認的邊是同一條。
頂點w∈V−X的鍵值（式（4.1））就是w的本地錦標賽中的最低Dijkstra得分，因此，我們的不變性有效地實現了所有的第一輪競賽。提取具有最小鍵值的頂點，然後開展第二輪錦標賽，閃閃發光的獎盃的持有者正是下一個需要處理的頂點，也就是跨越邊界的邊中具有最低Dijkstra得分的那條邊的頭頂點。關鍵在於，只要我們維持這個不變性，就可以用一個堆操作實現Dijkstra算法的每次迭代。
它的僞碼如下：[14]
Dijkstra（基於堆的算法，第1部分）
輸入：鄰接列表表示形式的有向圖G=(V, E)，頂點s∈V，對於每個e∈E，其長
度e≥0。
完成狀態：對於每個頂點v，len(v)的值等於真正的最短路徑長度dist(s,v)。
// 初始化 1 X := 空集合, H := 空堆 2 key(s) := 0 3 for every v ≠ s do 4 key(v) := +∞ 5 for every v ∈ V do 6 把v插入到 H // 或使用Heapify // 主循環 7 while H 非空 do 8 w* := ExtractMin(H) 9 把w*加到X 10 len(w*) := key(w*) // 對堆進行更新以維持不變性 11 (待宣佈)
但是，爲了維持這個不變性，需要多大的工作量呢？
4.4.3 維持不變性
現在是付出“代價”的時候了。我們享受了這個不變性的成果，它把Dijkstra算法所需要的每個最小計算減少爲一個堆操作。作爲交換，我們必須解釋怎樣在不付出過多工作量的前提下維持這個不變性。
算法的每次迭代把一個頂點x從V−X移動到X，從而改變了它們之間的邊界（圖4.3）。從X的某個頂點出發到v的邊現在完全處於X的內部，不再跨越邊界。更成問題的是，從v到V−X的其他頂點的邊不再完全處於V−X內部，而是從X跨越到V−X。爲什麼這會成爲問題呢？因爲我們的不變性式（4.1）表示，對於每個頂點w∈V−X，w的鍵等於一條終點在w的跨越邊的最小Dijkstra得分。新的跨越邊意味着出現了最小Dijkstra得分的新候選者，因此對於有些頂點w，式（4.1）的右邊可能會變小。例如，當滿足(v,w)∈E的頂點v第一次處於X的內部時，這個表達式就從+∞縮減爲一個確定的數字了（即len(v)+
）。
圖4.3 當一個新頂點v從V−X移動到X時，從v出發的邊可能成爲跨越邊界的邊
每次當我們從堆中提取一個頂點w*並把它從V−X移動到X時，可能需要減小仍然位於V−X中的一些頂點的鍵值，以反映新的跨越邊。由於所有的新跨越邊都是從w*出發的，因此我們只需要對以w*爲起點的邊進行迭代，檢查邊(w*, y)的頂點y∈V−X。對於每個這樣的頂點y，在y的本地錦標賽中，第一輪勝者有兩個候選：要麼與此前相同，要麼就是新的參賽選手(w*, y)。因此，y的新鍵值要麼是它的舊值，要麼是新的跨越邊的Dijkstra得分len(w*)+
，以更小的那個爲準。
我們怎樣減小堆中一個對象的鍵值呢？一個容易的方法是首先使用4.2.2節所描述的Delete操作將它刪除，接着更新它的值，然後使用Insert操作把它添加回堆中。[15]這樣，我們就完成了基於堆的Dijkstra算法的實現。
Dijkstra（基於堆的算法，第2部分）
// 對堆進行更新以維持不變性 12 for 每條邊(w* ,y) do 13 從H中刪除y 14 key(y) := min{ key(y), len(w*)+} 15 把y插入到H
4.4.4 運行時間
Dijkstra基於堆的實現的算法所完成的幾乎所有工作都是由堆操作組成的（可以進行驗證）。每個堆操作需要O(log n)的時間，其中n表示頂點的數量。（堆中對象的數量絕不可能超過n−1個。）
這個算法所執行的堆操作有多少個？基於堆的算法第1部分的第6～8行每一行都有n −1個操作，除起始頂點s之外的每個頂點均需要1個堆操作。那麼基於堆的算法第2部分的第13行和第15行呢？
小測驗4.2
Dijkstra將執行第13行和第15行多少次？選擇適用的最小邊界。（與往常一樣，n和m分別表示頂點的數量和邊的數量。）
（a）O(n)
（b）O(m)
（c）O(n2)
（d）O(mn)
（正確答案和詳細解釋如下。）
正確答案：（b）。第13行和第15行看上去可能有點奇怪。在主循環的一次迭代中，這兩行被執行的次數可能多達n −1次，w*的每條外向邊各執行1次。一共有n −1次迭代，看上去堆操作的數量是平方級的。對於稠密圖，情況確實如此。但是一般而言，我們可以做得更好。爲什麼？因爲我們把這些堆操作的責任交給邊而不是頂點。圖中的每條邊(v,w)在第12行最多出現1次，也就是當v第一次從堆中被提取並從V−X轉移到X時。[16]因此，第13行和第15行對於每條邊最多隻執行1次，總共是2m個操作，其中m是邊的數量。
小測驗4.2顯示了Dijkstra算法基於堆的實現使用了O(m+n)的堆操作，每個操作需要O(log n)的時間。總體運行時間是O((m+n)log n)，這是由定理4.4保證的。
本文摘自《算法詳解（卷2）——圖算法和數據結構》
本書涵蓋的內容
本書介紹了下面3個主題的基礎知識。
圖的搜索和應用
圖可用於對許多不同類型的網絡，包括道路網、通信網絡、社交網絡，以及任務之間的依賴性網絡進行建模。圖可能非常複雜，但圖存在一些運算速度非常快的基本算法。我們首先討論對圖進行搜索的線性算法，其應用範圍極廣，包括網絡分析以及任務序列化等。
最短路徑
在最短路徑問題中，其目標是計算網絡中從點A到點B的最佳路線。這個問題具有一些顯而易見的應用，例如計算行車路線等。許多更爲通用的規劃問題的本質就是計算最短路徑的問題。我們將對其中一種圖搜索算法進行歸納，進而引出著名的Dijkstra最短路徑算法。
數據結構
本書將幫助讀者熟悉幾種不同的數據結構，它們用於維護不斷變化的具有鍵的對象集合。我們的基本目標是培養一種能力，也就是能夠判斷哪種數據結構比較適合自己的應用。選讀的高級章節對如何從頭實現這些數據結構提供了一些指導方針。
我們首先討論堆，它可以快速識別它所存儲對象中具有最小鍵值的對象，適用於排序、實現優先隊列以及以線性時間實現Dijkstra算法。搜索樹可以維護它所存儲對象的整體鍵順序，並支持更豐富的數組操作。散列表對超級快速的查找方式進行了優化，在現代程序中具有極其廣泛的應用。我們還將討論布隆過濾器，它是散列表的“近親”。布隆過濾器的空間需求較散列表更低，但它偶爾會出現錯誤。
關於本書內容的更詳細介紹，可以閱讀每章的“本章要點”，它對每一章的內容，特別是那些重要的概念進行了總結。書中帶星號的章節是難度較高的章節。時間較爲緊張的讀者在第一遍閱讀時可以跳過這些章節，這並不會影響本書閱讀的連續性。