hdu 4870 Rating 概率dp

dp[i][j]表示兩個號的分數爲i,j時，到達目標的期望，規定i<=j;

題可變爲min(x+1,20),max(x-2,0).,,要求dp[0][0];

對於高分j爲5時，可列方程：(q==(1-p))

dp[0][5]=p*dp[1][5] + q*dp[0][5] + 1;

dp[1][5]=p*dp[2][5] + q*dp[0][5] + 1;

dp[2][5]=p*dp[3][5] + q*dp[0][5] + 1;

dp[3][5]=p*dp[4][5] + q*dp[1][5] + 1;

dp[4][5]=p*dp[5][5] + q*dp[2][5] + 1;

dp[5][5]=p*dp[5][6] + q*dp[3][5] + 1;

化簡得：

dp[1][5]=(1/p)*dp[0][5] - (q/p)*dp[0][5] - (1/p);

dp[2][5]=(1/p)*dp[1][5] - (q/p)*dp[0][5] - (1/p);

dp[3][5]=(1/p)*dp[2][5] - (q/p)*dp[0][5] - (1/p);

dp[4][5]=(1/p)*dp[3][5] - (q/p)*dp[1][5] - (1/p);

dp[5][5]=(1/p)*dp[4][5] - (q/p)*dp[2][5] - (1/p);

dp[5][6]=(1/p)*dp[5][5] - (q/p)*dp[3][5] - (1/p);

設dp[i][j] = a[i]*dp[0][j] + b[i];

a[0]=1,b[0]=0; (dp[0][j] = dp[0][j])

由上化簡式得：a[i]=(1/p)*a[i-1] - (q/p)*a[max(i-3,0)];

                            b[i]=(1/p)*b[i-1] - (q/p)*b[max(i-3,0)] - (1/p);

……

dp[5][5]=a[5]*dp[0][5] + b[5];

dp[5][6]=a[6]*dp[0][5] + b[6];

有上式得：dp[j][j+1] = a[j+1]*dp[0][j] + b[j+1];

已知：dp[19][20]=0;

可求得：dp[0][19],  

可求得：dp[18][19],

可求得：dp[0][18],

……

可求得：dp[0][1],

可求得：dp[0][0],

即不需要dp數組，求出係數a[i]、b[i].即可導出dp[0][0];

實現代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

double a[22],b[22];
int main()
{
	double p;
	while(scanf("%lf",&p)!=EOF)
	{
		a[0]=1,b[0]=0;
		double p1=1.0/p;
		double p2=(1.0-p)/p;
		int i,j,k;
		for(i=1;i<=20;i++)
		{
			a[i]=p1*a[i-1]-p2*a[max(i-3,0)];
			b[i]=p1*b[i-1]-p2*b[max(i-3,0)]-p1;
		}
		double ans=0;
		for(j=19;j>=1;j--)
		{
			ans=(ans-b[j+1])/a[j+1];
			ans=a[j-1]*ans+b[j-1];
		}
		ans=(ans-b[1])/a[1];
		printf("%.8lf\n",ans);
	}
}