逆元(Inverse element)就是在mod意義下，不能直接除以一個數，而要乘以它的逆元。
比如a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)，那麼a，b互爲模n意義下的逆元，比如你要算x/a，就可以改成x*b%p
觀察a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)，就可以用擴展歐幾里得算法求a了，同時這裏也說明了a和p只有在互素的情況下才存在逆元。
注意
在下面所有的算法中，最好先把除數取個模再運算。
方法一：擴展歐幾里得算法
原理
a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)
然後a就是我們要求的逆元，最終得到一個正數a的話就要對a mod p，因爲a加上mp的時侯k減少mb可以使得等式依然成立。
如果你不想讓逆元爲正數，那麼直接返回x也是可以正確的逆元
代碼
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//擴展歐幾里得算法
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
{
LL x,y;
LL d=exgcd(a,mod,x,y);
return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}- 1
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注意：返回的時候可以改成(x+mod)%mod，因爲擴展歐幾里得算法算出來的x應該不會太大.
性能分析:
- 時間複雜度:O(logn)（實際是斐波那契數列）
- 適用範圍：只要存在逆元即可求，適用於個數不多但是mod很大的時候，也是最常見的一種求逆元的方法。
方法二:費馬小定理/歐拉定理
原理
費馬小定理：若p爲素數，則有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)就是a在mod p意義下的逆元啦。
歐拉定理：若a、p互素，則有aφ(p)≡1(modp)aφ(p)≡1(modp)就是a在mod p意義下的逆元啦。
代碼
LL qkpow(LL a,LL p,LL mod)
{
LL t=1,tt=a%mod;
while(p)
{
if(p&1)t=t*tt%mod;
tt=tt*tt%mod;
p>>=1;
}
return t;
}
LL getInv(LL a,LL mod)
{
return qkpow(a,mod-2,mod);
}- 1
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性能分析：
- O(logmod)
- 適用範圍：一般在mod是個素數的時候用，比擴歐快一點而且好寫。
- 但是如果是合數，相信一般沒人無聊到去算個歐拉函數。
方法三：遞推求逆元
原理
p是模數，i是待求的逆元，我們求的是i−1i−1
嗯。。好難看的公式
說白了就是:inv[i]=-(mod/i)*inv[i%mod]
然後邊界是inv[1]=1
這不僅爲我們提供了一個線性求逆元的方法，也提供了一種O(logmod)求逆元的方法
代碼
線性求逆元
LL inv[mod+5];
void getInv(LL mod)
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<mod;i++)
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}- 1
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- 7
注意：
- 調用前要先預處理
- 調用的時候要先對除數取mod
性能分析：
- 時間複雜度O(n)
- 適用範圍：mod數是不大的素數而且多次調用，比如盧卡斯定理。
遞歸求逆元
LL inv(LL i)
{
if(i==1)return 1;
return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}- 1
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- 4
- 5
性能分析
- 時間複雜度:O(logmod)
- 好像找到了最簡單的算法了！！
- 適用範圍： mod數是素數，所以並不好用，比如中國剩餘定理中就不好使，因爲很多時候可能會忘記考慮mod數是不是素數。