ZCMU 1129: 第五章：一不小心愛上你（斯特林公式）

1129: 第五章：一不小心愛上你

Description
O型血的人大多數是行動派，鄭微更是將這個特徵發揮到了極致。次日上課，阮阮前所未有地發現她在課堂上奮筆疾書，大爲驚訝，便湊過去問了一聲，“在寫什麼呀？”鄭微大大方方地向阮阮展示了她一早上的智慧結晶，阮阮看了看，“俘虜陳孝正詳細行動攻略……”她唸完，頓時無語。挺漂亮的一本嶄新小本本，上面已經洋洋灑灑地寫了將近十頁，蠅頭小字，字字工整，各個環節、各個步驟無一不詳，關鍵地方和注意事項甚至還用下劃線標了出來。

行動攻略第一條：在自習教室偶遇陳孝正，鄭薇坐在了他的後面，假裝不知道，問了他一個數學問題:你知道520的階乘有多少位麼？但是，陳孝正卻根本沒有理睬鄭薇。。

這個問題的答案，你知道麼？趕緊想好了，如果哪天有人來問你。。。。。。

Input
每行一個N，0<=N<10^7，你要快速回答哦！

Output
輸出N的階乘的位數。

Sample Input

5
6
520

Sample Output

3
3
1189

HINT
他在這些傳言裏每天照常晨練，照常上課，照常自習，照常生活，照常獨來獨往，從不刻意躲閃別人的眼神，也不刻意澄清，只是淡漠地，彷彿他們說着的是別人的故事，只不過在遠遠看到鄭微時，掉頭的腳步更快了。但鄭微並不害怕他的迴避，一個學校能有多大，有心找一個人總能找到，何況是他這樣生活規律的傢伙。鄭微沒有真正經歷過愛情，她不知道別人的愛情是怎麼樣的，她只有憑着自己的直覺，傾盡所能地去靠近她愛的那個男孩。

題解
斯特林公式是用來求階層的近似值
斯特林公式可以用來估算某數的大小，結合lg可以估算某數的位數，或者可以估算某數的階乘是另一個數的倍數。
整數n的位數爲
[lgn]+1

可以看出斯特林公式的作用，上式左邊n！會爆，而下邊的每一項都不會爆long long，因爲取了對數。這樣就可以算出位數了。

cmath庫裏對數函數用法，log10(x)是取以10爲底的對數，log(x)是取以e爲底的對數。

下面代碼用了換底公式，避免了不知道e的準確值。

最後的公式：(int )(log10(2nPi)/2+n*log10(n/e)+1)
Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double Pi = acos(-1);
const double e = exp(1);
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n==0||n==1)
            printf("1\n");
        else
        printf("%d\n",(int )(log10(2*n*Pi)/2+n*log10(n/e)+1));
    }
    return 0;
}