【基於歸併排序的分治】統計問題

題目是這樣的：給你一個N*N的矩陣，可以完成兩個操作

      1.修改某個格子的權值；2.查詢某個矩形的權值。

 

看到題目以後很快想到的是二維樹狀數組，但是N<500000;Q<200000;空間上顯然承受不了，第二個選擇就是二維動態線段樹，弊端是編程複雜度大，常數大，估計寫出來是不可能的了。。。

 

不過既然有這種題目，那麼就一定是有解決辦法的，在線算法不行，可以考慮離線算法，這個離線算法應該怎麼做呢？

深入考慮這道題，發現他相當於是要滿足在3個偏序集的基礎上進行統計---時間、x座標、y座標，怎樣纔可以滿足條件呢？對於2個偏序集，我們常用的方法是對其中某一個偏序集進行排序使其成爲全序集，再用數據結構統計另一個偏序集。3個應該怎麼辦？

 

（看了題解後）應該還記得經典的統計逆序對的算法吧-有兩種做法，基於算法的歸併排序，基於數據結構的樹狀數組，逆序對就是2個偏序集，如果歸併排序加上樹狀數組能不能維護3個偏序集呢？答案是肯定的！

 

根據剛纔的思想我們便設計出了一個非常漂亮的算法，對於一段區間[l,r](時間)上的操作，我遞歸成[l,m],[m+1,r]那麼現在我們現在還沒有統計的就是[l,m]中的1操作對[m+1,r]中的2操作的影響，我們便把它們單獨拿出來算一遍就可以了（按x排好序，對y用樹狀數組統計）。

 

複雜度爲O(QlogQlogN)，歸併排序和樹狀數組都屬於常數非常小的算法，所以500000的數據只要1S，總之這是個非常漂亮的算法！

 

編程複雜度極低：

 

program ex2; var q,a,b,x,c,s,o,d,u,z,ans:array[0..500000] of longint; i,n,t,task:longint; procedure ins(i,j:longint); begin s[i]:=s[i]*ord(q[i]=t)+j;q[i]:=t end; function get(i:longint):longint; begin s[i]:=s[i]*ord(q[i]=t);q[i]:=t;get:=s[i] end; function ask(i:longint):longint; begin ask:=0; while i>0 do begin inc(ask,get(i)); i:=i-i and (-i); end; end; procedure work(l,r:longint);var i,j,k,i1,i2,m:longint; begin if l>=r then exit; m:=(l+r)>>1; work(l,m);work(m+1,r); i1:=l;i2:=m+1;inc(t); for i:=l to r do begin if ((x[u[i1]]<=x[u[i2]])or(i2>r))and not(i1>m) then begin k:=i1;inc(i1); end else begin k:=i2;inc(i2); end; j:=u[k]; if (o[j]=1)and(k<=m) then begin k:=a[j]; while k<=n do begin ins(k,b[j]);k:=k+k and (-k); end; end else if (o[j]=2)and(k>m) then inc(ans[d[j]],c[j]*(ask(b[j])-ask(a[j]-1))); z[i]:=j; end; for i:=l to r do u[i]:=z[i]; end; begin assign(input,'easyii.in');reset(input); assign(output,'easyii.out');rewrite(output); read(n,o[1]);i:=1;task:=0; while o[i]<>3 do begin if o[i]=1 then read(x[i],a[i],b[i]) else begin inc(task); read(x[i],a[i],x[i+1],b[i]); c[i]:=-1;d[i]:=task;inc(i); a[i]:=a[i-1];b[i]:=b[i-1]; o[i]:=2;dec(x[i-1]); c[i]:=1;d[i]:=task; end; inc(i);read(o[i]); end; for i:=1 to i-1 do u[i]:=i; work(1,i); for i:=1 to task do writeln(ans[i]); close(input);close(output); end.