jzoj 3847. 都市環遊(travel) (Standard IO)

Description
因爲SJY乾的奇怪事情過多，SJY收到了休假的通知，於是他準備在都市間來回旅遊。SJY有一輛車子，一開始行駛性能爲0，每過1時間行駛性能就會提升1點。每個城市的道路都有性能要求。SJY一共有t時間休息，一開始他位於1號城市（保證1號城市道路要求爲0），他希望在n號城市結束旅程。每次穿過一條城市間的路會花費1時間，當然他也可以停留在一個城市不動而花費1時間。當且僅當車子的行駛性能大於等於一個城市，我們才能到達那裏。SJY希望知道，旅遊的方案模10086後的答案。（只要在某一時刻通過的道路存在一條不相同，就算不同的方案）

Input
第一行三個數n,m,t，表示有n個城市m條道路t時間。
第二行n個數，hi表示第i個城市的道路性能要求。
第三到m+2行，每行兩個數u,v，表示城市u與城市v之間有一條單向道路連接（可能有重邊）。

Output
包括一個數字，表示旅遊的方案模10086。

Sample Input
5 17 7
0 2 4 5 3
1 2
2 1
1 3
3 1
1 4
4 1
4 5
5 4
5 3
4 1
2 1
5 3
2 1
2 1
1 2
2 1
1 3

Sample Output
245

Data Constraint
對於20%的數據，n<=10,t<=80；
對於50%的數據，n<=30,t<=80；
對於100%的數據，n<=70,m<=1000,t<=100000000,hi<=70。

//written by zzy

題目大意：

給你個圖,有$n$個城市，$m$條邊，每個城市至少要第$h[i]$時間後才能經過，
走一條邊或呆在當前城市裏都會花費時間$1$,
求在第$t$時間時到第$n$城市的方案數。

題解：

對於50%的數據，$n<=30,t<=80$,可以考慮dp，
設$f[i][j]$表在第 $i$ 時間到第 $j$ 城市的方案數,$a[i][j]$表讀入時城市 $i$ 到城市 $j$ 的方案數
易推$f[i][j]=∑f[i-1][k]*a[k][j],(1<=k<=n)$ //從在第 $i$ 時間從城市 $k$ 到城市 $j$

考慮滿分作法，
發現 $h[i]<=70$ ,即在第 $70$ 時間後沒有限制，可以隨便走，
那麼每次矩陣 $f$ 都會乘上矩陣 $a$，

( $a*a~[i,j]~=∑a[i,k]*a[k,j]$，即枚舉 $k$ ,從 $i$ 到 $k$ 再走到 $j$ 的方案數，
也即走兩個時間從 $i$ 到 $j$ 的方案數
那麼 $a^t$ 即走 $t$ 個時間從 $i$ 到 $j$ 的方案數)

用dp處理前 $70$ 時間和用矩陣快速冪後 $70$ 的時間
因爲矩陣乘法有結合律
再令 $f$ 與 ·a^t-70 相乘，
答案爲 $f[t+1][n]$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 75
#define T 85
#define Mod 10086
using namespace std;

int i,j,k,n,l,t,x,y;
int h[N],f[T][N];

struct Mal{
	long long m[N][N];
};

Mal a,b,ans;

Mal mult(Mal x,Mal y) {
    Mal re;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=1;j<=n;j++)
	  re.m[i][j]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=1;j<=n;j++)
	  for (int k=1;k<=n;k++)
	   re.m[i][j]=(re.m[i][j]+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%Mod)%Mod;
	return re;
}

void mal_ksm(long long p) {
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 ans.m[i][i]=1;
	while (p) {
		if (p&1) ans=mult(ans,a);
		p>>=1;
		a=mult(a,a);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&t);
	for (i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d",&h[i]);
	for (i=1;i<=l;i++) {
		scanf("%d%d",&x,&y);
		a.m[x][y]++;
	}
	f[0][1]=1;
	for (i=1;i<=n;i++) a.m[i][i]=1;
	for (i=1;i<=min(t,70);i++) 
	 for (j=1;j<=n;j++)
	  if (h[j]<=i)
	  for (k=1;k<=n;k++)
	   f[i][j]=(f[i][j]+(f[i-1][k]*a.m[k][j])%Mod)%Mod;
	if (t<=70) {
	    printf("%d",f[t][n]); return 0;
	}
	mal_ksm(t-70);
	a=ans;
	for (j=1;j<=n;j++)
	 for (k=1;k<=n;k++)
	  f[71][j]=(f[71][j]+(f[70][k]*a.m[k][j])%Mod)%Mod;
	printf("%d",f[71][n]);
}