冰山上的一角——n維歐幾里得空間

由n維歐幾里得空間窺探數學概念 $Space$ 的整個體系：

Overview of types of abstract spaces. An arrow from space A to space B implies that space A is also a kind of space B. That means, for instance, that a normed vector space is also a metric space.
 
Source：Space (mathematics)-WiKi

本人水平有限，暫時接觸到的只有這麼多：

歐幾里得空間的數學結構關係圖
來源：線代啓示錄——歐幾里得空間的數學結構

度量空間可以表示爲 $(X,d)$ 二元組，$X$ 是一個集合，d是一個定義在笛卡爾積（直積，$Cartesian \ \ product$）下的數值函數，又叫做度量函數：$d: \ \ X \times X \mapsto R$ . 這個度量函數滿足幾個性質，在此不再羅列。

度量空間的完備性被柯西序列的收斂所定義，當然這裏的柯西序列不再僅僅是實數域 $R$ 上的 $\{x_n\}$ 了，而變成了抽象集合 $X$ 上元素構成的序列 $\{x_n\}$ 。

拿 $X=(0,1]$ ，序列 $\{\frac{1}{n}\}$ 爲例，不難看出該序列是一個柯西列，在 $n \to \infty$ 時，$\frac{1}{n}$ 是趨於 $0$ 的，但不可能取到 $0$ ，因爲 $X$ 中沒有定義 $0$ 這個元素，也就沒有了極限。所以完備性就由柯西列收斂來給出，目的就是爲了對極限具有封閉性。

當然，當 $X$ 還未經抽象化，即 $X$ 爲實數域 $R$ ，且度量函數由普通的絕對值度量：$d: \ \ d(x,y)=|x-y|$ 這種情況下，實數域 $R$ 的完備性不僅僅有柯西構造方式，還有戴德金構造方式，這部分內容可以在數學分析教材中找到答案。單就柯西列本身，在不同的研究領域中就有不同的解讀，這一點可以參考WiKipedia——Cauchy Sequence。

有了度量空間與度量空間完備性的概念，可以自然引出賦範向量空間這一概念。當向量空間引入賦範運算（norm）後，這一賦範向量空間會自然誘導出”度量函數“，故賦範向量空間也是（或者叫誘導、induce）一個度量空間。

如果說賦範運算給予向量空間”長度“，可以說內積運算給予向量空間”角度“。當然，向量空間中的”長度“和”角度“密不可分，內積運算最初是從歐幾里得空間幾何直觀中蘊含的”範數“這個角度引出的。然而，當給定了向量空間上的內積運算後（即給定一個內積空間），發現定義一種內積（即滿足內積性質的一種實現 ”implement“ ）可以唯一”誘導“出一種範數：

$||v||=<v,v>^{\frac{1}{2}}=\sqrt{<v,v>}$

這說明了內積運算雖由範數概念引出，單從其所屬的“層級”來看，是一種“囊括”了範數的運算，這就是爲什麼我們可以看到上面兩圖中的箭頭是由$inner \ \ product \ \ space$指向$normed \ \ \ vector \ \ space$的。

對於賦範向量空間 $(V,||\cdot||)$ ，若 $V$ 中的全體柯西序列均在此空間的度量 $d(u,v)$ 下收斂，那麼這個賦範向量空間就有了完備性，成爲了完備賦範向量空間，稱之爲巴拿赫空間 $Banach \ \ space$。

對於內積空間 $(V,<\cdot,\cdot>)$ ，若 $V$ 中的全體柯西序列均在此空間的度量 $d(u,v)$ 下收斂，那麼這個內積空間就有了完備性，成爲了完備內積向量空間，稱之爲希爾伯特空間 $Hilbert \ \ space$。

又根據一種內積運算可以誘導一種範數，故希爾伯特空間是可以 imply 巴拿赫空間的。

我們可以證明：$R^n$ 是有限維的希爾伯特空間。注意，這裏的 $R^n$ 不是沒有規定內積和範數的n維實向量空間，而是規定了內積和範數的n維歐幾里得空間

由上述的這些內容，可以看出我們日常普遍接觸到的n維歐幾里得空間（例如二維和三維的帶有”長度“概念的座標系空間）僅僅是有限維向量空間加上一些很 $well-defined$ 的運算性質的綜合體，不要將一些很基本的運算 ”算長度“ ”算角度“ 等等看的理所當然。對每種結構剝絲抽繭的抽象，都會有很深刻的內蘊在其下。切忌管中窺豹，而錯失理解抽象概念的契機。

補充：前述有誤，賦範向量空間定義的範數可以不由內積運算誘導，故賦範向量空間的層級其實比內積空間更高，賦範向量空間包含着內積空間。事實上，在 $L^p$ 範數當中，僅有 $p=2$ 時纔有符合內積定義的幾個性質的內積運算，詳細的請看問題：Is every normed vector space, an inner product space