LeetCode刷題——除數博弈

題目

愛麗絲和鮑勃一起玩遊戲，他們輪流行動。愛麗絲先手開局。

最初，黑板上有一個數字 N 。在每個玩家的回合，玩家需要執行以下操作：

• 選出任一 x，滿足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替換黑板上的數字 N 。
  如果玩家無法執行這些操作，就會輸掉遊戲。

只有在愛麗絲在遊戲中取得勝利時才返回 True，否則返回 false。假設兩個玩家都以最佳狀態參與遊戲。

示例 1：

輸入：2
輸出：true
解釋：愛麗絲選擇 1，鮑勃無法進行操作。

示例 2：

輸入：3
輸出：false
解釋：愛麗絲選擇 1，鮑勃也選擇 1，然後愛麗絲無法進行操作。

來源：力扣（LeetCode）
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思路

這個題可以用歸納法和動態規劃法來接。先看下動態規劃法。

動態規劃

將所有的小於等於 N (包含N)的解都找出來，可以基於前面的解來推後面的。

當dp[i]==False，說明愛麗絲會輸，反之說明會贏。要想愛麗絲贏，就要找到一個約數，使得愛麗絲取時爲True，並且刷新後的數爲False。

class Solution(object):
    def divisorGame(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: bool
        """
        dp = {} #True代表愛麗絲贏，False代表愛麗絲輸
        dp[2] = True 
        dp[1] = False
        import math
        for i in range(3,N+1):#需要包含N的情況
            dp[i] = False
            for j in range(1,int(math.sqrt(i))): #限定j的取值範圍
                if i % j == 0 and dp[i - j] == False: # 如果 選出任一j,滿足 i % j == 0,且下一個數字爲False
                    dp[i] = True #找得到這麼一個j，說明i是可以獲勝的
                    break 
        return dp[N]

歸納法

我們可以多舉幾個例子，然後找出規律：

1. 假設 N = 1，愛麗絲無解(選出的值x必須0 < x < N)，直接失敗；
2. 假設 N = 2，愛麗絲可以選擇 x = 1，鮑勃 N = 2 - 1 = 1，無解，愛麗絲獲勝；
3. 假設 N = 3，愛麗絲只可以選擇x=1，鮑勃N = 3 - 1 = 2，參考上面N=2，此時鮑勃獲勝
4. 假設 N = 4，愛麗絲可以選擇 x = 1 使得鮑勃遇到 N = 3 的情況，參考上面，則愛麗絲獲勝；

大概可以得到一個規律：當N爲偶數時，愛麗絲能獲勝，否則失敗。

class Solution(object):
    def divisorGame(self,int N):
        return N % 2 == 0