ACM模板 位運算，（矩陣）快速冪

位運算

• & 按位與，全1爲1。例如5&3-----> 101&11----->1即1
• | 按位或，有1則1。例如5|3-----> 101|11 ---->111即7
• ^按位異或，相同爲0，不同爲1。例如5^3----->101^11---->110即6
• ~取反運算，0變1，1變0，例如~5—>101—>010即2
• <<左移指令
• >>右移指令

快速冪運算，即模平方重複計算法

爲什麼要有快速冪運算，因爲對於c++來說，pow函數在函數庫中的定義之中是通過連續相乘得到的結果，那麼對於一些小的冪來說，計算確實很快，但是當冪達到1e8往上這些大的冪來說的話，時間複雜度太大，過於耗時，所以採用了快速冪的算法，來提高運算的速度，對於$2^{2^100}$來說，普通算法要運算$2^100$次，而採用快速冪算法的話，只需要運算100次，也就是時間複雜度是O(logn)，原本的時間複雜度是O(n)級別的；

具體原理:

對於想要求得的一個$b^y$,我們可以把y化成二級制的科學計數法，也就是$y=a_n2^{c_n}+..+a_12^{c_1}+a_0$,然後對於原式來說，就變成了$b^y=b^{a_n2^{c_n}+..+a_12^{c_1}+a_0}=b^{a_n2^{c_n}}*...*b^{a_12^{c_1}}*b^{a_0}$

• 對於想要求得$b^y$
• 只需要求$b^{a_n2^{c_n}}*...*b^{a_12^{c_1}}*b^{a_0}$
• 也就是隻需要求每個$b^{a_i2^{c_i}}$,然後對於所有結果相乘即可

怎麼求得每一個的結果呢？
我們觀察得出，對於二進制的科學計數法來說，$a_i$要麼是0，要麼是1，0、1與$c_i$有關，而$c_i$又恰好是二進制的位置索引，舉個例子：如5，化爲二進制101，化爲科學計數法：$5=1*2^2+0*2^1+1*2^0$
所以對於$b^{a_i2^{c_i}}$來說，我們只需要知道y對應的二進制數，就可以知道a與c的每一個值，也就可以知道每一個結果；

代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long //long long 類型，這裏相當於把long long定義了一個別名；

//爲什麼用longlong類型？因爲對於一個快速冪來說，運算的結果很有可能是一個大於int類型所能處理的數
//b代表底數，y代表冪
ll QuickPow(ll b, ll y)
{
    //res代表的結果，tmp則是中間變量
    ll res = 1, tmp = b;

    while (y)
    {
        //這個地方也就是，從右往左判斷二進制位置上是1還是0,1的話就對於結果進行更新；
        if (y % 2 == 1)
            res *= tmp;
        //tmp代表的就是權
        tmp *= tmp;
        //對於y進行處理，左移一位
        y = (y >> 1);
    }
    //我們最終想要的結果
    return res;
}

int main()
{
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    cout << QuickPow(a, b) << endl;
    return 0;
}

矩陣快速冪：
和上面的差不多，主要是多了一個矩陣乘法的問題；具體看代碼吧

#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long //定義別名

//Maxx是矩陣的最大行數，Maxy則是矩陣的最大列數
const int Maxx = 100;
const int Maxy = 100;

//用結構體來表示矩陣
struct matrix
{
   int m[Maxx][Maxy];
};

//矩陣的乘法法則,ax代表a的行數，ay則是a的列數
matrix mul(matrix a, matrix b, int ax, int ay, int by)
{
   //結果矩陣
   matrix res;
   //初始化
   for (int i = 0; i < ax; i++)
      for (int j = 0; j < by; j++)
         res.m[i][j] = 0;

   for (int i = 0; i < ax; i++)
   {
      for (int j = 0; j < by; j++)
      {
         for (int k = 0; k < ay; k++)
         {
            res.m[i][j] = res.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j];
         }
      }
   }
   return res;
}

//b的n次方，lenb代表着b的行數
matrix QuickPow(matrix b, ll n, int lenb)
{
   //res是用來表示結果的
   matrix res;
   //初始化爲單位陣
   for (int i = 0; i < lenb; i++)
   {
      for (int j = 0; j < lenb; j++)
      {
         if (i == j)
            res.m[i][j] = 1;
         else
            res.m[i][j] = 0;
      }
   }
   //中間變量
   matrix tmp=b;
   while(n)
   {
      if(n%2==1) res=mul(res,tmp,lenb,lenb,lenb);
      tmp=mul(tmp,tmp,lenb,lenb,lenb);
      n=(n>>1);
   }
   return res;
}

int main()
{
   //用於檢驗
   matrix x;
    x.m[0][0]=1;
    x.m[0][1]=1;
    x.m[1][0]=1;
    x.m[1][1]=0;
    ll n;
    cin>>n;
    x=QuickPow(x,n,2);
    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
       for (int j = 0; j < 2; j++)
       {
          cout<<x.m[i][j]<<" ";
       }
       cout<<endl;
    }

}