函數依賴 閉包 自反 增廣 傳遞 範式 關係模式的分解
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函數依賴
1.函數依賴（FD）是關係模式內最常見的數據依賴，屬於語義範疇的概念
2. 函數依賴定義爲：設R(U)是屬性集U上的關係模式。X,Y是U的子集，若對於R(U)的任意一個可能的關係r，r中不可能存在兩個元組在X上的屬性值相等，而在Y上的屬性值不等，則成X函數確定Y或者Y函數依賴與X， 記作：X→Y。
3. 平凡的函數依賴：如果X→Y，但Y∈X，則稱X→Y是平凡的函數依賴
4. 非平凡的函數依賴：如果X→Y，但Y∉X，則稱X→Y是非平凡的函數依賴。通常情況下總是討論非平凡的函數依賴
5. 完全函數依賴：在R(U)中，如果X→Y，並且對於x的任何一個真子集X’，都有X´不能決定Y，則稱Y對X完全函數依賴，記作：X-f->Y (f即 full)
6. 部分函數依賴：在R(U)中，如果X→Y，但Y不完全函數依賴於X，則稱Y對X部分函數依賴，記作：X-p->Y (p即part) 部分函數依賴也稱爲局部函數依賴
7. 傳遞依賴：在R(U,F)中，如果X→Y，Y∉X，Y→Z，Y不完全函數依賴於X，則稱Z對X傳遞依賴
8. 候選碼：設K爲R(U,F)中屬性的組合，若K-f->U，且對於K的任何一個真子集K’，都有K’不能決定U，則K爲R的候選碼（候選關鍵字）。若有多個候選碼，則選其中一個座位主碼（主鍵），包含在任何一個候選碼中的屬性稱之爲主屬性，反之稱之爲非主屬性
函數依賴的邏輯蘊涵
定義：設有關係模式R(U)及其函數依賴集F，如果對於R的任一個滿足F的關係r函數依賴X→Y都成立，則稱F邏輯蘊涵X→Y，或稱X→Y可以由F推出。
例：關係模式 R=(A,B,C),函數依賴集F={A→B,B→C}, F邏輯蘊涵A→C。
證：設u,v爲r中任意兩個元組：
若A→C不成立，則有u[A]=v[A],而u[C]≠v[C]
而且A→B, B→C,知
u[A]=v[A], u[B]=v[B], u[C]=v[C],
即若u[A]=v[A]則u[C]=v[C]，和假設矛盾。
故F邏輯蘊涵A→C。
滿足F依賴集的所有元組都函數依賴X→Y（X→Y不屬於F集），則稱F邏輯蘊涵X→Y
（X→Y由F依賴集中所有依賴關係推斷而出）
Armstrong公理
1、定理：若U爲關係模式R的屬性全集，F爲U上的一組函數依賴，設X、Y、Z、W均爲R的子集，對R(U,F)有：
F1(自反性)：若X≥Y(表X包含Y），則X→Y爲F所蘊涵；(F1’:X→X)
F2(增廣性): 若X→Y爲F所蘊涵，則XZ→YZ爲F所蘊涵；(F2’:XZ→Y)
F3(傳遞性): 若X→Y,Y→Z爲F所蘊涵，則X→Z爲F所蘊涵；
F4(僞增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）爲F所蘊涵，則XW→YZ爲F所蘊涵；
F5(僞傳性): 若X→Y，YW→Z爲F所蘊涵, 則XW→Z爲F所蘊涵；
F6(合成性): 若X→Y,X→Z爲F所蘊涵，則X→YZ爲F所蘊涵；
F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含於Y）爲F所蘊涵，則X→Z爲F所蘊涵。
函數依賴推理規則F1∽F7都是正確的。
2、Armstrong公理：
推理規則F1、F2、F3合稱Armstrong公理；
F4 ∽ F7可由F1、F2、F3推得，是Armstrong公理的推論部分。
函數依賴的閉包
定義：若F爲關係模式R(U)的函數依賴集，我們把F以及所有被F邏輯蘊涵的函數依賴的集合稱爲F的閉包，記爲F+。
即：F+={X→Y|X→Y∈F∨“應用Armstong公理從F中導出的任何X→Y”}
△ F包含於F+，如果F=F+，則F爲函數依賴的一個完備集。
△ 規定：若X爲U的子集，X→Φ 屬於F+。
例：R=ABC,F={A→B, B→C}, 求F+
解： F+ ={A→Φ,AB→Φ,AC→Φ,ABC→Φ,B→Φ,C→Φ,
A→A,AB→A,AC→A,ABC→A,B→B,C→C,
A→B,AB→B,AC→B,ABC→B,B→C,
A→C,AB→C,AC→C,ABC→C,B→BC,
A→AB,AB→AB,AC→AB,ABC→AB,BC→Φ,
A→AC,AB→AC,AC→AC,ABC→AC,BC→B,
A→BC,AB→BC,AC→BC,ABC→BC,BC→C,
A→ABC,AB→ABC,AC→ABC,ABC→A,BC→BC}
例：已知關係模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},判斷BD→AC是否屬於F+
解：由D→EG知D→E，BD→BE … ①
又知BE→C，C→A 所以BE→A, BE→AC … ②
由①、②知，BD→AC，所以BD→AC被F所蘊涵，即BD→AC屬於F+
例：已知關係模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B, GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},證明BG→HE屬於F+
證：由B→CE知B→C，B→E, BG→GC … ①
又知GC→A，A→P 所以BG→A, BG→ABCP … ②
又ABCP→H，由①、②知BG→HE，所以BG→HE被F所蘊涵，
即BG→HE屬於F+
屬性集閉包
1、定義：若F爲關係模式R(U)的函數依賴集，X是U的子集，則由Armstrong公理推導出的所有X→Ai所形成的屬性集
例：設R=ABC,F={A→B, B→C}當X分別爲A,B,C是求X+。
解：當X=A時，X+=ABC
當X=B時，X+=BC
當X=C時，X+=C
* X代表的屬性集可以決定的屬性集（包括本身）
2、定理：當且僅當Y屬於X+時，X→Y能根據Armstron公理由F導出。
證：設Y=A1,A2,…,An
①充分條件：當Y屬於X+時,對於每個i,X→Ai可由公理導出。
再用合併規則可得X→Y。
②必要條件：若X→Y能夠由公理導出,則根據分解規,
X→Ai(i=1,2,…,n)成立，所以Y屬於X+。
3、計算X+
(1)算法依據：若F爲關係模式R(U)的函數依賴集,X,Z,W是U的子集,對於任意的Z→W∈F,若 X≥Z（表X包含Z）,則X→XW。
(2)算法：
a.令X+ = X;
b.在F中依次查找每個沒有被標記的函數依賴，若“左邊屬性集”包含於X+ ，則令 X+ = X+∪“右邊屬性集”,爲被訪問過的函數依賴設置訪問標記。
c.反覆執行b直到X+不改變爲止。
（先令X+等於本身，然後在F+中依次查找左邊包含於X+的屬性，把其右邊的對應屬性併到X中）
(3)算法實現
輸入：關係模式R的子集X,R上的函數依賴集F。
輸出：X關於F的閉包X+
算法僞語言描述：
Closure(X,F)
{
olds=Φ; news=X; G=F;
while (olds!=news)
{
olds=news;
for (G中的每個函數依賴W→Z)
{
if (news包含W)
{
news=news∪Z;
從G中刪除函數依賴W→Z;
}
}
}
return news;
}
例：已知關係模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},
求(BD)+，判斷BD→AC是否屬於F+
解：X+=BDEGCA
結論：(BD)+=ABCDEG,BD→AC可由F導出，即BD→AC屬於F+
例：已知關係模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B,GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},
證明BG→HE屬於F+
證：因爲,(BG)+ =ABCEHPG,
所以BG→HE可由F導出，即BG→HE屬於F+
4、結論
判定函數依賴X→Y是否能由F導出的問題，可轉化爲求X+並判定Y是否是X+子集的問題。
即求閉包問題可轉化爲求屬性集問題。
判定給定函數依賴X→Y是否蘊涵於函數依賴集F算法實現：
輸入：函數依賴集合F,函數依賴X→Y
輸出：若X→Y∈F+輸出真，否則輸出假
算法僞語言描述：
number(F,X→Y)
{ if (Y包含於close(X,F))
return 真
else
return 假
}
{Ai|i=1,2,…}稱爲X對於F的閉包，記爲X+。
關係模式的分解
- 關係模式的分解有幾個不同的衡量標準：①分解具有無損連接；②分解要保持函數依賴；③分解既要保持函數依賴，又要具有無損連接
- 無損連接性判定定理：關係模式R分解爲兩個關係模式R1和R2，滿足無損連接性的充分條件是R1∩R2→（R1-R2）或R1∩R2→（R2-R1）
- 保持函數依賴的定義是：若滿足（F1∪F2）+=F+，則分解保持函數依賴，其中Fi函數依賴集F在Ri上的投影
- 在泛關係模式R分解成數據庫模式ρ={R1，R2…Rk}時，泛關係r在ρ的每一模式Ri(1≤i≤n)上投影后再連接起來，比原來r中多出來的元組，稱爲“寄生元組”或外元組。實際上，寄生元組表示錯誤的信息
- 先存在r(泛關係)的情況下，再去談論分解，這是關係數據庫理論中著名的泛關係假設
在無泛關係假設時，對兩個關係進行自然連接中被丟失的元組稱爲懸掛元組 - 懸掛元組是造成兩個關係不存在泛關係的原因
- 模式分解的優點：①能消除數據冗餘和操作異常的現象；②在分解了的數據庫中可以存儲懸掛元組，存儲泛關係中無法存儲的信息
- 模式分解的缺點：①分解以後，檢索操作需要做笛卡爾積或鏈接操作，這將付出時間代價；②在有泛關係假設時，對數據庫中的關係進行自然連接時，可能產生寄生元組（即損失了信息）；在無泛關係假設時，由於數據庫可能存在懸掛元組，因此有可能不存在泛關係
- 無損分解的測試方法。①輸入：關係模式R=（A1，A2…An），F是R上成立的函數依賴集，ρ={R1,R2…Rn}是R的一個分解；②輸出：判斷ρ相對於F是否具有無損分解特性。無損分解的測試算法如下：
1.構造一張k行n列的表格，每列對應一個屬性Aj（1≤j≤n），每行對應一個模式Rj（1≤i≤k）。如果Aj在Ri中，那麼在表格的第i行第j列處填上符號aj，否則填上bij。
2.把表格看成模式R的一個關係，反覆檢查F中每個FD在表格中是否成立，若不成立，則修改表格中的值，修改方法爲：對於F中一個函數依賴X→Y，如果表格中有兩行在X值上相等，在Y值上不相等，那麼把這兩行在Y值上也改成相等的值，如果Y值中一個是aj,那麼另一個也改成aj;如果沒有aj那麼用其中一個bij替換另一個字（儘量把下表ij改成較小的數）。一直到表格不能修改爲止，這個過程成爲chase（追蹤）過程
3.若修改後的最後一直表格中有一方全是a,即a1，a2...an，則稱ρ相對於F是無損分解，否則稱爲損失分解
10.如果某個分解能保持FD集，那麼在數據輸入或更新時，只要每個關係模式本身的FD約束被滿足，就可以確保整個數據庫中數據的語義完整性不受破壞
11.關係模式在分解時應保持等價，有數據等價和依賴等價兩種，分別用無損分解和保持依賴兩個特徵來衡量。
12.數據等價是指兩個數據庫實例贏表示同樣的信息內容。如果是無損分解，那麼對泛關係反覆的投影和連接都不會丟失信息
13.依賴等價是指兩個數據庫模式應有相同的依賴集閉包，在依賴集閉包相等的情況下，數據的語義是不會出差錯的
範式
a.範式是衡量關係模式優劣的標準，它表達了模式中數據依賴之間應滿足的聯繫
b.第一範式（1NF）：若關係模式R的每一個分量是不可分的數據項，則R∈1NF
c.2NF:若R∈1NF，且每一個非主屬性完全函數依賴於碼，則R屬於2NF。換言之，當1NF消除了非主屬性對碼的部分函數依賴時，則稱爲2NF。典型有：捐贈信息（捐贈編號。捐贈校友，捐贈時間，受益人身份證號，受益人姓名），其中捐贈編號和受益人身份證號是主鍵，但是存在” 捐贈編號→捐贈校友，捐贈時間“和”受益人身份證號→受益人姓名“的部分依賴，所以這個不是2NF
d.3NF:若R∈2NF，且每一個非主屬性既不部分依賴於碼，也不傳遞依賴於碼，則R∈3NF。換言之：當2NF消除了非主屬性對碼的部分函數傳遞時，稱爲3NF。典型有：校友信息（校友編號，姓名，工作單位，職位，院系，班級，入學年份，身份證號）班級爲班級編號，包含院系編號，入學年份和專業方向編號。可以知道 校友編號應該是主鍵，同時身份證號也是該關係模式的決定性因素，因此他們都是候選鍵。由“班級→入學年份 ”和“校友編號→班級”,出現了“ 校友編號→入學年份”，雖然每一個非主屬性不部分依賴與碼，但是傳遞依賴與碼了，因此這不是3NF
e.BCNF:關係模式R∈1NF，若X→Y且Y∉X時，X必含碼，則R屬於BCNF。換言之，當3NF消除了主屬性對碼的部分和傳遞函數依賴時，則稱爲BCNF。注意：BCNF是3NF消除主屬性的部分和傳遞函數依賴，2NF 1NF晉級是消除非主屬性的依賴
他們之間的相互關係是：1NF⊃2NF⊃3NF⊃BCNF
f.BCNF的關係模式都具有如下3個性質
1.所有非主屬性都完全函數依賴於每個候選碼
2.所有主屬性都完全函數依賴於每個不包含於他的候選碼
3.沒有任何屬性完全函數依賴於非碼的任何一組屬性
4.多值依賴MVD：設R(U)施屬性集U上的一個關係模式，X,Y是U的子集，若對R(U)的任一關係r，對於X的一個給定的值存在着Y的一組值與其對應，同時Y的這組值又不以任何方式與U-X-Y中的屬性相關，那麼稱Y多值依賴於X，記爲X→→Y
e.4NF：關係模式R∈1NF，若對於R的每個非平凡多值依賴X→→Y且Y∉X時，X必含碼，則R∈4NF
對於4NF關係進行投影，消除原關係中不是由候選碼所蘊含的函數依賴，即可得到一組5NF關係，5NF是最終範
g.規範化理論提供了一套完整的模式分解算法，按照這套算法可以做到：
1.若要求分解具有無損連接性，那麼模式分解一定能夠達到4NF
2.若要求分解保持函數依賴，那麼模式分解一定能夠達到3NF，但不一定能夠達到BCNF
3.若要求分解即具有無損連接性，又保持函數依賴，則模式分解一定能夠達到3NF，但不一定能夠達到BCNF。
h.模式設計方法的原則：關係模式R相對於函數依賴集F分解成數據庫模式ρ={R1，R2，..Rn}，一般應具有以下特性。
ρ中每個關係模式Ri是3NF或BCNF
保持無損連接
保持函數依賴集F
ρ中模式個數最少和屬性總數最少
i.一個好的模式設計方法應符合3條原則：表達性、分離性和最小冗餘性
j.表達性設計兩個數據庫模式的等價性問題，即數據等價和依賴等價，分別用無損連接和保持函數依賴性來衡量
k.分離性是指屬性間的”獨立聯繫“；應該用不同的關係模式表達
l.最小冗餘性要求在分解後的數據庫，能表達原來數據庫的所有信息這個前提下實現
關係模式設計方法基本上可以分爲分解與合成兩大類。