【算法四】堆排序

基本思路

• 1.若array[0，…，n-1]表示一顆完全二叉樹的順序存儲模式，則雙親節點指針和孩子結點指針之間的內在關係如下：

任意一節點指針 i：
父節點：i==0 ? null : (i-1)/2
左孩子：2*i + 1
右孩子：2*i + 2

• 2.堆得定義

n個關鍵字序列array[0，...，n-1]，當且僅當滿足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)
① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]； 稱爲小根堆；
② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]； 稱爲大根堆；

• 3.建立大頂堆 n個節點的完全二叉樹array[0，…，n-1]，最後一個節點n-1是第(n-1-1)/2個節點的孩子。對第(n-1-1)/2個節點爲根的子樹調整，使該子樹稱爲堆。

對於大根堆，調整方法爲：若【根節點的關鍵字】小於【左右子女中關鍵字較大者】，則交換。

之後向前依次對各節點（(n-2)/2 - 1）~ 0爲根的子樹進行調整，看該節點值是否大於其左右子節點的值，若不是，將左右子節點中較大值與之交換，交換後可能會破壞下一級堆，於是繼續採用上述方法構建下一級的堆，直到以該節點爲根的子樹構成堆爲止。

反覆利用上述調整堆的方法建堆，直到根節點。

• 4.堆排序（大頂堆）

①將存放在array[0，...，n-1]中的n個元素建成初始堆；
②將堆頂元素與堆底元素進行交換，則序列的最大值即已放到正確的位置；
③將數組中array[0，...，n-1]前n-1個元素再次形成大根堆，再重複第②③步，直到堆中僅剩下一個元素爲止。

代碼實現

/**
    *  大頂堆排序
    * @param array
    */
public static void maxHeapSort(int[] array) {
    int i;
    int len = array.length;
    // 構建大頂堆
    for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        adjustMaxHeap(array, i, len);
    }
    // 堆頂是最大值，交換堆頂和最後一個數，再重新調整最大堆，下一次循環   i--
    for (i = len - 1; i >= 0; i--) {
        int temp = array[0];
        array[0] = array[i];
        array[i] = temp;
        adjustMaxHeap(array, 0, i);
    }
    System.out.println(Arrays.toString(array));
}

private static void adjustMaxHeap(int[] a, int pos, int len) {
    int temp;
    int child;
    for (temp = a[pos]; 2 * pos + 1 < len; pos = child) {
        // 數組從0開始，r(i)>=r(2i) r(i)>=r(2i+1)  對應 pos => 2 * pos + 1 和 2 * pos +2
        child = 2 * pos + 1;
        // 有右孩子，且右孩子數值更大
        if (child + 1 < len && a[child] < a[child + 1]) {
            child++;
        }
        // 最大的孩子大於根節點
        if (a[child] > temp) {
            a[pos] = a[child];
        } else {
            break;
        }
    }
    a[pos] = temp;
}

時間複雜度和空間複雜度

時間複雜度:建堆：o(n)，每次調整o(log n)，故最好、最壞、平均情況下：o(n*logn)。