劍指Offer #10 矩形覆蓋（問題分析）

題目來源：牛客網-劍指Offer專題
題目地址：矩形覆蓋

題目描述

我們可以用$2*1$的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用n個$2*1$的小矩形無重疊地覆蓋一個$2*n$的大矩形，總共有多少種方法？

比如n=3時，$2*3$的矩形塊有3種覆蓋方法：

題目解析

其實這類題目，如果實在不知道怎麼下手，都不妨先考慮枚舉，將前面小的數先枚舉出來，然後再猜測規律是什麼。一般可以考慮的式子有 $2^{n-1}$ 、斐波那契數列、n相關的多項式、組合數、卡特蘭數、歐拉函數……

這看這道題，我們先把 $n$ 比較小的情況先枚舉出來，如下表所示：

n	1	2	3	4	5	6	…
result	1	2	3	5	8	13	…

看，不騙你們吧！這不是斐波那契數列嗎？我不是坑你們，只是在實在無從下手的時候給你們提供一種思路，別動不動就寫什麼搜索去枚舉這些情況……

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下面是正解時間：

參考了討論區中Follow大佬的講解思路，假設我們有一個 $2*n$ 的大矩形，當 $n=i$時的方法有 $f(i)$ 種，我們先考慮第一個 $2*1$ 小矩形的擺法。有下面兩種情況：

• 情況一：如下圖豎着擺放，那麼剩下的矩形就形成了一個 $2*(n-1)$ 的大矩形，所以這種情況下的覆蓋方法有 $f(n-1)$ 種。

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• 情況二：如下圖橫着擺放，爲了把它下方的空間覆蓋，第二個 $2*1$ 小矩形也必須橫着擺在它的下方，，那麼剩下的矩形就形成了一個 $2*(n-2)$ 的大矩形，所以這種情況下的覆蓋方法有 $f(n-2)$ 種。

*	*
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於是，我們就可以知道 $f(n)=f(n-1) + f(n-2)$，再結合 $n-2 \leq0$ 的情況，我們就可以得到以下的遞推式啦~

$f(n)= \begin{cases} 1&, \text{n=1} \\ 2 &,\text{n=2} \\ f(n-1) + f(n-2) &,\text{n>2} \end{cases}$

這個遞推式看爛了，這裏就簡單寫常用的兩種實現方式，詳情可以參考上篇博客解法：斐波那契數列（四種解法）。

方法一：
面試別寫型遞推版實現，時間複雜度 $O(2^n)$。

public class Solution {
    public int RectCover(int n) {
        if (n < 3) {
            return n;
        }
        return RectCover(n - 1) + RectCover(n - 2);
    }
}

方法二：
面試推薦型，自底向上型循環求解，時間複雜度爲 $O(n)$。

public class Solution {
    public int RectCover(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        int a = 1, b = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            a = a + b;
            b = a - b;
        }
        return a;
    }
}

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