劍指Offer #07 斐波那契數列（四種解法）| 圖文詳解

題目來源：牛客網-劍指Offer專題
題目地址：斐波那契數列

題目描述

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0）。n<=39

題目解析

方法一：
普通遞歸版求法，這種方法通常和漢諾塔一起被放在課本的遞歸教學部分，應該是面試官不希望看到的算法。
$F(n) = \begin{cases} 0, & \text {n=0} \\ 1, & \text {n=1,2} \\ F(n-1)+F(n-2), & \text{n>2} \end{cases}$
利用上面遞推式，自頂向下進行求解，因爲存在大量的重疊子問題，時間複雜度爲 $O(2^n)$。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }
}

方法二：
我們可以將遞推式的求解從自頂向下改爲自底向上（循環實現）。簡而言之，我們已知前兩項的值，然後我們就可以用前兩項的值求出第3項的值，接着求第4、第5、……，直到求出第n項的值。（廢話）

實現過程如下圖所示，兩個相同顏色的箭頭可以確定一個新的數列項。

上述算法的時間複雜度爲 $O(n)$，在面試中夠用了，如果還是覺得簡單可以繼續往下看。

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        int a = 1, b = 1;
        for (int i = 1; i <= n - 2; i++) {
            a = a + b;
            b = a - b;
        }
        return a;
    }
}

方法三：
我們知道：
$F(n)=F(n-1)+F(n-2) \\ F(n-1)=F(n-1)+0*F(n-2)$
將其轉化成矩陣運算可得

$\begin{pmatrix} F(n) \\ F (n-1)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} F(n-1) \\F(n-2)\\ \end{pmatrix}$
而右邊的$2\times1$階矩陣又可以進一步分解爲
$\begin{pmatrix} F(n-1) \\ F (n-2)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} F(n-2) \\F(n-3)\\ \end{pmatrix}$
按照這樣一直分解下去直到右邊的$2\times1$階矩陣F(2),F(1),即
$\begin{pmatrix} F(n) \\ F (n-1)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}^{n-2}* \begin{pmatrix} F(2) \\F(1)\\ \end{pmatrix}$
這時利用矩陣版的快速冪求解其中的矩陣冪乘，就可以在 $O(logn)$ 的時間複雜度下得出Fibonacci數列的第n項的值。

這種方法通常是用在算法比賽中，在面試中容易裝逼失敗不適合使用，這裏也不掛板子了。

方法四：
根據上面的遞推式，利用我們高中學過的“待定係數法”可以推導出斐波那契數列的通項公式。公式如下，（推導過程略）
$F(n)=\frac {\sqrt5} {5} [(\frac {1+\sqrt5} {2})^n-(\frac {1-\sqrt5} {2})^n]$
公式法時間複雜度爲 $O(1)$ ? 感覺不然，求公式中的 $n$ 次方應該要用上快速冪，我個人認爲時間複雜度應該也是 $O(logn)$。（我要滾去看源碼了 ）

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        double a = Math.sqrt(5)/5;
        double b = Math.pow((1+ Math.sqrt(5))/2, n);
        double c = Math.pow((1- Math.sqrt(5))/2, n);
        return (int)(a * (b - c));
    }
}

後記:
如果你在寫出循環版之後，再給面試官描述後面兩種算法，並流暢寫出通項公式的推導過程，相信肯定可以取得面試官的芳心~

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