問題提出：12.0f-11.9f=0.10000038，”減不盡”爲什麼？
來自MSDN的解釋：
http://msdn.microsoft.com/zh-cn/c151dt3s.aspx
爲何浮點數可能丟失精度，浮點十進制值通常沒有完全相同的二進制表示形式。 這是 CPU 所採用的浮點數據表示形式的副作用。爲此，可能會經歷一些精度丟失，並且一些浮點運算可能會產生意外的結果。
導致此行爲的原因是下面之一：
十進制數的二進制表示形式可能不精確。
使用的數字之間類型不匹配（例如，混合使用浮點型和雙精度型）。
爲解決此行爲，大多數程序員或是確保值比需要的大或者小，或是獲取並使用可以維護精度的二進制編碼的十進制 (BCD) 庫。
現在我們就詳細剖析一下浮點型運算爲什麼會造成精度丟失？
1、小數的二進制表示問題
首先我們要搞清楚下面兩個問題： (1) 十進制整數如何轉化爲二進制數 算法很簡單。舉個例子，11表示成二進制數： 11/2=5 餘 1 5/2=2 餘 1 2/2=1 餘 0 1/2=0 餘 1 0結束 11二進制表示爲(從下往上):1011這裏提一點：只要遇到除以後的結果爲0了就結束了，大家想一想，所有的整數除以2是不是一定能夠最終得到0。換句話說，所有的整數轉變爲二進制數的算法會不會無限循環下去呢？絕對不會，整數永遠可以用二進制精確表示 ，但小數就不一定了。
(2) 十進制小數如何轉化爲二進制數 算法是乘以2直到沒有了小數爲止。舉個例子，0.9表示成二進制數 0.9*2=1.8 取整數部分 1 0.8(1.8的小數部分)*2=1.6 取整數部分 1 0.6*2=1.2 取整數部分 1 0.2*2=0.4 取整數部分 0 0.4*2=0.8 取整數部分 0 0.8*2=1.6 取整數部分 1 0.6*2=1.2 取整數部分 0 ......... 0.9二進制表示爲(從上往下): 1100100100100......注意：上面的計算過程循環了，也就是說*2永遠不可能消滅小數部分，這樣算法將無限下去。很顯然，小數的二進制表示有時是不可能精確的 。其實道理很簡單，十進制系統中能不能準確表示出1/3呢？同樣二進制系統也無法準確表示1/10。這也就解釋了爲什麼浮點型減法出現了”減不盡”的精度丟失問題。
2、 float型在內存中的存儲
衆所周知、 Java 的float型在內存中佔4個字節。float的32個二進制位結構如下：
4bytes 31 30 29----23 22----0 表示 實數符號位 指數符號位 指數位 有效數位其中符號位1表示正，0表示負。有效位數位24位，其中一位是實數符號位。
將一個float型轉化爲內存存儲格式的步驟爲：
（1）先將這個實數的絕對值化爲二進制格式，注意實數的整數部分和小數部分的二進制方法在上面已經探討過了。
（2）將這個二進制格式實數的小數點左移或右移n位，直到小數點移動到第一個有效數字的右邊。
（3）從小數點右邊第一位開始數出二十三位數字放入第22到第0位。
（4）如果實數是正的，則在第31位放入“0”，否則放入“1”。
（5）如果n 是左移得到的，說明指數是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，則第30位放入“0”。
（6）如果n是左移得到的，則將n減去1後化爲二進制，並在左邊加“0”補足七位，放入第29到第23位。如果n是右移得到的或n=0，則將n化爲二進制後在左邊加“0”補足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。
舉例說明： 11.9的內存存儲格式
(1) 將11.9化爲二進制後大約是” 1011. 1110011001100110011001100…”。
(2) 將小數點左移三位到第一個有效位右側： “1. 011 11100110011001100110 “。 保證有效位數24位，右側多餘的截取（誤差在這裏產生了 ）。
(3) 這已經有了二十四位有效數字，將最左邊一位“1”去掉，得到“ 011 11100110011001100110 ”共23bit。將它放入float存儲結構的第22到第0位。
(4) 因爲11.9是正數，因此在第31位實數符號位放入“0”。
(5) 由於我們把小數點左移，因此在第30位指數符號位放入“1”。
(6) 因爲我們是把小數點左移3位，因此將3減去1得2，化爲二進制，並補足7位得到0000010，放入第29到第23位。
最後表示11.9爲： 0 1 0000010 011 11100110011001100110
再舉一個例子：0.2356的內存存儲格式
（1）將0.2356化爲二進制後大約是0.00111100010100000100100000。
（2）將小數點右移三位得到1.11100010100000100100000。
（3）從小數點右邊數出二十三位有效數字，即11100010100000100100000放入第22到第0位。
（4）由於0.2356是正的，所以在第31位放入“0”。
（5）由於我們把小數點右移了，所以在第30位放入“0”。
（6）因爲小數點被右移了3位，所以將3化爲二進制，在左邊補“0”補足七位，得到0000011，各位取反，得到1111100，放入第29到第23位。最後表示0.2356爲：0 0 1111100 11100010100000100100000
將一個內存存儲的float二進制格式轉化爲十進制的步驟：
（1）將第22位到第0位的二進制數寫出來，在最左邊補一位“1”，得到二十四位有效數字。將小數點點在最左邊那個“1”的右邊。
（2）取出第29到第23位所表示的值n。當30位是“0”時將n各位求反。當30位是“1”時將n增1。
（3）將小數點左移n位（當30位是“0”時）或右移n位（當30位是“1”時），得到一個二進制表示的實數。
（4）將這個二進制實數化爲十進制，並根據第31位是“0”還是“1”加上正號或負號即可。
3、浮點型的減法運算
浮點加減運算過程比定點運算過程複雜。完成浮點加減運算的操作過程大體分爲四步：
(1) 0操作數的檢查；
如果判斷兩個需要加減的浮點數有一個爲0，即可得知運算結果而沒有必要再進行有序的一些列操作。
(2) 比較階碼（指數位）大小並完成對階；
兩浮點數進行加減，首先要看兩數的 指數位 是否相同，即小數點位置是否對齊。若兩數 指數位 相同，表示小數點是對齊的，就可以進行尾數的加減運算。反之，若兩數階碼不同，表示小數點位置沒有對齊，此時必須使兩數的階碼相同，這個過程叫做對階 。
如何對階(假設兩浮點數的指數位爲 Ex 和 Ey )：通過尾數的移位以改變 Ex 或 Ey ，使之相等。由於浮點表示的數多是規格化的，尾數左移會引起最高有位的丟失，造成很大誤差；而尾數右移雖引起最低有效位的丟失，但造成的誤差較小，因此，對階操作規定使尾數右移，尾數右移後使階碼作相應增加，其數值保持不變。很顯然，一個增加後的階碼與另一個相等，所增加的階碼一定是小階。因此在對階時，總是使小階向大階看齊 ，即小階的尾數向右移位 ( 相當於小數點左移 ) ，每右移一位，其階碼加 1 ，直到兩數的階碼相等爲止，右移的位數等於階差 △ E 。
(3) 尾數（有效數位）進行加或減運算；
對階完畢後就可 有效數位 求和。不論是加法運算還是減法運算，都按加法進行操作，其方法與定點加減運算完全一樣。
(4) 結果規格化並進行舍入處理。
略
4、計算12.0f-11.9f
12.0f 的內存存儲格式爲: 0 1 0000010 100 0000000000 0000000000
11.9f 的內存存儲格式爲: 0 1 0000010 011 1110011001 1001100110
可見兩數的指數位完全相同，只要對有效數位進行減法即可。
12.0f-11.9f 結果： 0 1 0000010 00000011001100110011010
將結果還原爲十進制爲： 0.000 11001100110011010= 0.10000038
詳細的分析
由於對float或double 的使用不當，可能會出現精度丟失的問題。問題大概情況可以通過如下代碼理解:
public class FloatDoubleTest {
public static void main(String[] args) {
float f = 20014999;
double d = f;
double d2 = 20014999;
System.out.println("f=" + f);
System.out.println("d=" + d);
System.out.println("d2=" + d2);
}
}
得到的結果如下：
f=2.0015E7
d=2.0015E7
d2=2.0014999E7
從輸出結果可以看出double 可以正確的表示20014999 ，而float 沒有辦法表示20014999 ，得到的只是一個近似值。這樣的結果很讓人訝異。20014999 這麼小的數字在float下沒辦法表示。於是帶着這個問題，做了一次關於float和double學習，做個簡單分享，希望有助於大家對java 浮點數的理解。
關於 java 的 float 和 double
Java 語言支持兩種基本的浮點類型： float 和 double 。java 的浮點類型都依據 IEEE 754 標準。IEEE 754 定義了32 位和 64 位雙精度兩種浮點二進制小數標準。
IEEE 754 用科學記數法以底數爲 2 的小數來表示浮點數。
32 位浮點數用 1 位表示數字的符號，用 8 位來表示指數，用 23 位來表示尾數，即小數部分。作爲有符號整數的指數可以有正負之分。小數部分用二進制（底數 2 ）小數來表示。對於64 位雙精度浮點數，用 1 位表示數字的符號，用 11 位表示指數，52 位表示尾數。如下兩個圖來表示：
float(32位): 
double(64位): 
都是分爲三個部分：
(1) 一個單獨的符號位s 直接編碼符號s 。
(2)k 位的冪指數E ，移碼錶示。
(3)n 位的小數，原碼錶示。
那麼 20014999 爲什麼用 float 沒有辦法正確表示？
結合float和double的表示方法，通過分析 20014999 的二進制表示就可以知道答案了。
以下程序可以得出 20014999 在 double 和 float 下的二進制表示方式。
public class FloatDoubleTest3 {
public static void main(String[] args) {
double d = 8;
long l = Double.doubleToLongBits(d);
System.out.println(Long.toBinaryString(l));
float f = 8;
int i = Float.floatToIntBits(f);
System.out.println(Integer.toBinaryString(i));
}
}
輸出結果如下：
Double:100000101110011000101100111100101110000000000000000000000000000
Float:1001011100110001011001111001100
對於輸出結果分析如下。對於 double 的二進制左邊補上符號位 0 剛好可以得到 64 位的二進制數。根據double的表示法，分爲符號數、冪指數和尾數三個部分如下：
0 10000010111 0011000101100111100101110000000000000000000000000000
對於 float 左邊補上符號位 0 剛好可以得到 32 位的二進制數。 根據float的表示法， 也分爲 符號數、冪指數和尾數三個部分如下：0 10010111 00110001011001111001100
對比可以得出:符號位都是 0 ，冪指數爲移碼錶示,兩者剛好也相等。唯一不同的是尾數，而且可以看出尾數的前面20位都是一樣的，後面開始產生誤差。