時隔多年,趁疫情在家,重新學習鄭君里老師的信號與系統,把前面的一些概念做個小結吧,順便自己學習一下markdown語法。
下面就開始吧。BTW,markdown寫這種文檔確實好看。
1.週期函數的傅里葉級數
函數f(t)週期爲T1,角頻率ω1=T12π ,函數的傅里葉級數如下:
f(t)=n=−∞∑∞Fnejnω1t(1.1)
Fn=T11∫−2T1T1f(t)e−jnω1tdt(1.2)
2.非週期函數的傅里葉變換
把f(t)的週期T1→∞,得到非週期函數的傅里葉變換如下:
f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω(2.1)
F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt(2.2)
3.週期函數的傅里葉變換和傅里葉級數的關係
F(ω)=2πn=−∞∑∞Fnδ(ω−nω1)(3.1)
4.時域卷積定理
給定兩個函數f1(t)和f2(t) ,傅里葉變換如下:
F[f1(t)]=F1(ω)(4.1)
F[f2(t)]=F2(ω)(4.2)
則:
F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)F2(ω)(4.3)
證明過程如下:
根據卷積定義,已知
f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)⋅f2(t−τ)dτ(4.4)
那麼:
F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞∞[∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ]e−jωtdt=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jωtdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jω(t−τ)e−jωτdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jω(t−τ)dt]e−jωτdτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jωτdτ=F1(ω)⋅F2(ω)(4.5)
證畢。
5.頻域卷積定理
給定兩個函數f1(t)和f2(t) ,傅里葉變換如下:
F[f1(t)]=F1(ω)(5.1)
F[f2(t)]=F2(ω)(5.2)
則:
F[f1(t)⋅f2(t)]=2π1F1(ω)∗F2(ω)(5.3)
證明過程如下:
根據卷積定義,已知
F1(ω)∗F2(ω)=∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ(5.4)
那麼
F−1[2π1F1(ω)∗F2(ω)]=2π1∫−∞∞2π1[∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ]ejωtdω=2π1∫−∞∞F1(μ)[2π1∫−∞∞F2(ω−μ)ejωtdω]dμ=2π1∫−∞∞F1(μ)[2π1∫−∞∞F2(ω−μ)ej(ω−μ)tdω)ejμtdμ=2π1∫−∞∞F1(μ)f2(t)ejμtdμ=f2(t)⋅2π1∫−∞∞F1(μ)ejμtdμ=f1(t)⋅f2(t)(5.5)
證畢。