AcWing 275. 傳紙條 (dp 狀態優化）

AcWing 275. 傳紙條

題目

給一個 m 行 n 列矩陣，當前位置在（1，1），需要走到（m，n）然後再走回來，走到一個點可以拿走當前的值，但是每個點只能走一次，求最後能得到的最大值。

分析

如果只有一條路線就很簡單了。現在要回去，可以看成同時從（1，1）走兩條不相交的路線，狀態表示可以用 $dp[x1][y1][x2][y2]$ 從 (1,1) 分別走到兩個點。

進一步優化狀態，可以記錄走了 k 步，和兩點的 x 座標。

①： 狀態表示（經驗）

1. 集合：$dp[k][x1][x2]$ 表示所有兩條路線從 (1,1) 分別走到 $(x1, k-x1), (x2, k-x2)$的所有方案（不相交）
2. 屬性：表示集合中所有方案路徑花費之和的最大值。

②： 狀態轉移

兩條路線分別可以從右、下走到當前位置 $dp[k][x1][x2]$，排列組合一下就是 4 種方式。

推廣：如果這個題要走 k 條路徑的話，就不能用 dp 來做了，狀態太多，要用最小費用最大流

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50 + 5;

int n, m, t;
int w[N][N];
int dp[N * 2][N][N];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = 1; j <= m; j++) 
			scanf("%d", &w[i][j]);

	for (int k = 2; k <= n + m; k++) 
		for (int x1 = max(1, k - m); x1 <= min(k - 1, n); x1++) 
			for (int x2 = max(1, k - m); x2 <= min(k - 1, n); x2++) {
				if (x1 == x2) continue;     // 不能走相同的點
				if (x1 != x2) t = w[x1][k - x1] + w[x2][k - x2];
				for (int a = 0; a < 2; a++) 		// 四個方向
					for (int b = 0; b < 2; b++)
						dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k - 1][x1 - a][x2 - b] + t);
			}
	// 最後一個點的值 加上 兩個方向來的最大值
	printf("%d\n", w[n][m] + max(dp[n + m - 1][n][n - 1], dp[n + m - 1][n - 1][n]));
	return 0;
}

代碼其實也可以寫成，其中如果兩人在相同格子，則 t 等於這個格子的分值；否則等於兩個格子的分值之和。主要是爲了計算最後一個點，中間走相同點的肯定會被其他值替換，所以沒事。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50 + 5;

int n, m;
int w[N][N];
int dp[N * 2][N][N];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = 1; j <= m; j++) 
			scanf("%d", &w[i][j]);

	for (int k = 2; k <= n + m; k++) 
		for (int x1 = max(1, k - m); x1 <= min(k - 1, n); x1++) 
			for (int x2 = max(1, k - m); x2 <= min(k - 1, n); x2++) {
				int t = w[x1][k - x1];
				if (x1 != x2) t += w[x2][k - x2];
				for (int a = 0; a < 2; a++) 		// 四個方向
					for (int b = 0; b < 2; b++)
						dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k - 1][x1 - a][x2 - b] + t);
			}
	printf("%d\n", dp[n + m][n][n]);
	return 0;
}