[藍橋杯解題報告]第七屆藍橋杯大賽省賽2016（軟件類）真題C++A組 Apare_xzc

藍橋杯第七屆(2016年)省賽軟件類C++A組解題報告

Apare_xzc 2020/3/4

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考生須知：

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1.網友年齡

分析：

        枚舉網友的年齡，從10開始到99，逐個判斷，符合條件的計數即可。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int x = 10;
	int cnt = 0;
	for(int x = 27;x<100;++x)
	{
		int y = x-27;
		int a = y%10,b = y/10;
		if(a*10+b==x) 
		{
			++cnt;
			cout<<x<<endl;
		}
	}
	cout<<"ans = "<<cnt<<endl;
	return 0;	
} 

答案：7

符合條件的年齡有：30,41,52,63,74,85,96 共七個。

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2. 生日蠟燭

分析：

         這道題明顯可以口算出來。我們可以選擇最暴力的兩重循環找答案，也可以對236分解質因數，稍加分析，口算出答案。
         通過分解質因數，我們知道236 = 2 * 2 * 2 * 59,我們不妨設這個人開始過生日party的年齡爲x，今年的年齡爲y，則x + (x+1) + (x+2) + ... + (y-1) + y = 236，我們用等差數列求和公式可得：(x+y) * (y-x+1) = 236。
         我們稍加分析可知：x+y 和 y-x的奇偶性相同，那麼x+y和y-x+1一定是一奇一偶。於是只能是一個59,一個8。於是：
x+y = 59
y-x = 7
聯立可得：x = 26, y = 33

答案：26

分解質因數的代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void f(int x)
{
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		while(x%i==0) cout<<i<<",",x/=i;
	}
	cout<<endl;
}
int main()
{
	f(236);
	//236 = 2*2*2*59
    //(st+ed)*(ed-st+1) = 472;
	//st = 26 ed = 33
	return 0;
 } 

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3. 方格填數

分析：

        簡單dfs, 判斷，剪枝。我們可以對這10個塊進行如下的編號：

我們只需要dfs一個長度爲10的序列，序列的每個位置都可以填0到9的某個數，然後判斷是否合法即可。
        我們可以預處理出每個位置相鄰的位置(上下左右對角)有哪些，存到vector中，便於我們dfs時判斷。只要每個位置和比它編號小的所有位置都不相鄰，那麼這個填法一定合理。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans = 0;
int a[] = {0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,7,8};
int b[] = {1,3,4,5,2,4,5,6,5,6,4,7,8,5,7,8,9,6,8,9,9,8,9};
int record[12]; 
vector<int> v[12];
void dfs(int x)
{
	if(x==10)
	{
		++ans;
//		for(int i=0;i<10;++i) printf("%d%c",record[i],i==9?'\n':' ');
		return;
	}
	bool vs[12] = {0};
	int len = v[x].size();
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		vs[record[v[x][i]]]= true;
	}
	for(int i=0;i<10;++i)
	{
		if(vs[i]) continue;
		record[x] = i;
		dfs(x+1);
		
	}
}
int main()
{
//	freopen("outC.txt","w",stdout);
	int L = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
	for(int i=0;i<L;++i)
	{
		v[b[i]].push_back(a[i]);
	}
	ans = 0;
	dfs(0);
	cout<<ans<<endl;
//  702107280
//	fclose(stdout);
	return 0;	
} 

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4. 快速排序

#include <stdio.h>

void swap(int a[], int i, int j)
{
	int t = a[i];
	a[i] = a[j];
	a[j] = t;
}

int partition(int a[], int p, int r)
{
    int i = p;
    int j = r + 1;
    int x = a[p];
    while(1){
        while(i<r && a[++i]<x);
        while(a[--j]>x);
        if(i>=j) break;
        swap(a,i,j);
    }
	//請填空______________________;
    return j;
}

void quicksort(int a[], int p, int r)
{
    if(p<r){
        int q = partition(a,p,r);
        quicksort(a,p,q-1);
        quicksort(a,q+1,r);
    }
}
    
int main()
{
	int i;
	int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17};
	int N = 12;
	
	quicksort(a, 0, N-1);
	
	for(i=0; i<N; i++) printf("%d ", a[i]);
	printf("\n");
	
	return 0;
}

//注意：只填寫缺少的內容，不要書寫任何題面已有代碼或說明性文字。

分析：

         快速排序可以用遞歸實現（也可以用循環）。對a[p],a[p+1],a[p+2], … ,a[r-1],a[r]這個序列排序，我們隨機找序列中的某個數作爲參考，題目選的是第一個數a[p]，然後我們要實現大於x的全部放到x右邊，小於x的全部放到x左邊，最後返回x在數組中的下標。根據樣例手動模擬一下不難得到答案。

答案：swap(a,p,j)

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5. 消除尾一

#include <stdio.h>

void f(int x)
{
	int i;
	for(i=0; i<32; i++) printf("%d", (x>>(31-i))&1);
	printf("   ");
	
	x = _______________________;
	
	for(i=0; i<32; i++) printf("%d", (x>>(31-i))&1);
	printf("\n");	
}

int main()
{
	f(103);
	f(12);
	return 0;
}
//注意：只填寫缺少的內容，不要書寫任何題面已有代碼或說明性文字。

分析：

        顯然題目要求一行代碼將x末尾連續的1都消去。
        我們想到了樹狀數組中lowbit()這個函數。int lowbit(int x){return x&(-x);}返回的是整數x的二進制從後往前數第一個1以及後面的0的十進制數值（不懂的話百度一下吧）我們一先將x加1，變成xxxxx10000的形式，然後再x -= lowbit(x)

答案：(x+1)-((x+1)&(-x-1)) 或者 x&(x+1)

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6. 寒假作業

分析：

        dfs即可。我們需要一些剪枝，減少不必要的計算。比如，加號兩邊都要小於13，被減數小於減數，乘號兩端相乘不大於13，被除數要能被除數整除…

代碼：

（由於剪枝，代碼稍長，但都可複製粘貼一個case）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r[15];
long long ans = 0;
bool vis[15];
void dfs(int x)
{
	if(x==12)
	{
		++ans;
		for(int i=0;i<12;++i) printf("%d%c",r[i],i==11?'\n':' ');
		return;
	}
	if(x==0)
	{
		for(int i=1;i<=12;++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	}
	else if(x==1)
	{
		for(int i=1;i+r[0]<=13;++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	}
	else if(x==2)
	{
		int y = r[0]+r[1];
		if(y<=13&&!vis[y])
		{
			r[x] = y;
			vis[y] = true;
			dfs(x+1);
			vis[y] = false;
		}
	}
	else if(x==3)
	{
		for(int i=2;i<=13;++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	}
	else if(x==4)
	{
		for(int i=1;i<r[3];++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	}
	else if(x==5)
	{
		int dif = r[3]-r[4];
		if(!vis[dif])
		{
			r[x] = dif;
			vis[dif] = true;
			dfs(x+1);
			vis[dif] = false; 
		}
	}
	else if(x==7)
	{
		for(int i=1;i*r[6]<=13;++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		} 
	}
	else if(x==8)
	{
		int p = r[6]*r[7];
		if(p<=13&&!vis[p])
		{
			r[x] = p;
			vis[p] = true;
			dfs(x+1);
			vis[p] = false;
		}
	}
	else if(x==10)
	{
		for(int i=1;i<r[9];++i)
		{
			if(vis[i]||r[9]%i!=0) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	}
	else if(x==11)
	{
		int d = r[9]/r[10];
		if(!vis[d])
		{
			r[x] = d;
			vis[d] = true;
			dfs(x+1);
			vis[d] = false;
		}
	}
	else
	{
		for(int i=1;i<=13;++i)
		{
			if(vis[i]) continue;
			r[x] = i;
			vis[i] = true;
			dfs(x+1);
			vis[i] = false;
		}
	} 
}
int main()
{
	dfs(0);
	cout<<"ans = "<<ans<<endl;
	return 0;	
} 

答案爲：64

所有填法如下：

1 8 9 13 6 7 2 5 10 12 3 4
1 8 9 13 6 7 2 5 10 12 4 3
1 8 9 13 6 7 3 4 12 10 2 5
1 8 9 13 6 7 3 4 12 10 5 2
1 8 9 13 6 7 4 3 12 10 2 5
1 8 9 13 6 7 4 3 12 10 5 2
1 8 9 13 6 7 5 2 10 12 3 4
1 8 9 13 6 7 5 2 10 12 4 3
1 8 9 13 7 6 2 5 10 12 3 4
1 8 9 13 7 6 2 5 10 12 4 3
1 8 9 13 7 6 3 4 12 10 2 5
1 8 9 13 7 6 3 4 12 10 5 2
1 8 9 13 7 6 4 3 12 10 2 5
1 8 9 13 7 6 4 3 12 10 5 2
1 8 9 13 7 6 5 2 10 12 3 4
1 8 9 13 7 6 5 2 10 12 4 3
6 7 13 9 1 8 2 5 10 12 3 4
6 7 13 9 1 8 2 5 10 12 4 3
6 7 13 9 1 8 3 4 12 10 2 5
6 7 13 9 1 8 3 4 12 10 5 2
6 7 13 9 1 8 4 3 12 10 2 5
6 7 13 9 1 8 4 3 12 10 5 2
6 7 13 9 1 8 5 2 10 12 3 4
6 7 13 9 1 8 5 2 10 12 4 3
6 7 13 9 8 1 2 5 10 12 3 4
6 7 13 9 8 1 2 5 10 12 4 3
6 7 13 9 8 1 3 4 12 10 2 5
6 7 13 9 8 1 3 4 12 10 5 2
6 7 13 9 8 1 4 3 12 10 2 5
6 7 13 9 8 1 4 3 12 10 5 2
6 7 13 9 8 1 5 2 10 12 3 4
6 7 13 9 8 1 5 2 10 12 4 3
7 6 13 9 1 8 2 5 10 12 3 4
7 6 13 9 1 8 2 5 10 12 4 3
7 6 13 9 1 8 3 4 12 10 2 5
7 6 13 9 1 8 3 4 12 10 5 2
7 6 13 9 1 8 4 3 12 10 2 5
7 6 13 9 1 8 4 3 12 10 5 2
7 6 13 9 1 8 5 2 10 12 3 4
7 6 13 9 1 8 5 2 10 12 4 3
7 6 13 9 8 1 2 5 10 12 3 4
7 6 13 9 8 1 2 5 10 12 4 3
7 6 13 9 8 1 3 4 12 10 2 5
7 6 13 9 8 1 3 4 12 10 5 2
7 6 13 9 8 1 4 3 12 10 2 5
7 6 13 9 8 1 4 3 12 10 5 2
7 6 13 9 8 1 5 2 10 12 3 4
7 6 13 9 8 1 5 2 10 12 4 3
8 1 9 13 6 7 2 5 10 12 3 4
8 1 9 13 6 7 2 5 10 12 4 3
8 1 9 13 6 7 3 4 12 10 2 5
8 1 9 13 6 7 3 4 12 10 5 2
8 1 9 13 6 7 4 3 12 10 2 5
8 1 9 13 6 7 4 3 12 10 5 2
8 1 9 13 6 7 5 2 10 12 3 4
8 1 9 13 6 7 5 2 10 12 4 3
8 1 9 13 7 6 2 5 10 12 3 4
8 1 9 13 7 6 2 5 10 12 4 3
8 1 9 13 7 6 3 4 12 10 2 5
8 1 9 13 7 6 3 4 12 10 5 2
8 1 9 13 7 6 4 3 12 10 2 5
8 1 9 13 7 6 4 3 12 10 5 2
8 1 9 13 7 6 5 2 10 12 3 4
8 1 9 13 7 6 5 2 10 12 4 3

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7. 剪郵票

分析：

        12個裏面選5個，我們可以dfs枚舉所有選法，然後再判斷每種選法5張郵票是否都連在一起。
        爲了做到不重不漏，我們dfs枚舉5個郵票的時候不妨按序號升序枚舉
        判連通可以用dfs,從某個塊開始dfs，如果所有塊都能到達，則是合法的。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[] = {1,1,2,2,3,3,4,5,5,6, 6,7, 7, 8, 9,10,11};
int b[] = {2,5,3,6,4,7,8,6,9,7,10,8,11,12,10,11,12};
int r[5];
bool vis[15];
vector<int> v[15];
int ans;
bool vs[15];
bool see[15];
void DFS(int x)
{
	see[x] = true;
	int len = v[x].size();
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		int to = v[x][i];
		if(!vs[to]) continue;
		if(see[to]) continue;
		DFS(to);
	}
}
void judge()
{
	memset(vs,false,sizeof(vs));
	memset(see,false,sizeof(see));
	for(int i=0;i<5;++i)
		vs[r[i]] = true;
	DFS(r[0]);
	int cnt = 0;
	for(int i=1;i<=12;++i)
	{
		if(see[i]) ++cnt;
	}
	if(cnt==5) 
	{
		++ans;
		for(int i=0;i<5;++i) printf("%2d%c",r[i],i==4?'\n':' ');
	}
}
void dfs(int x)
{
	if(x==5)
	{
		judge();
		return;	
	}	
	int down = x==0?1:r[x-1]+1;
	for(int i=down;i<=12;++i)
	{
		if(vis[i]) continue;
		r[x] = i;
		vis[i] = true;
		dfs(x+1);
		vis[i] = false; 
	}
} 
int main()
{
	int L = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
	for(int i=0;i<L;++i)
	{
		v[a[i]].push_back(b[i]);
		v[b[i]].push_back(a[i]);	
	} 
	dfs(0);
	cout<<"ans = "<<ans<<endl;
	
	return 0;
} 

答案爲：116

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8. 四平方和

分析：又是dfs…

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e6+10;
bool is2[maxn];
long long p2[3000];
int r[4];
bool ok;
int X;
void dfs(int x,int preSum)
{
	if(ok) return;
	if(x==3)
	{
		int remain = X-preSum;
		if(remain>=0&&is2[remain])
		{
			int y = sqrt(remain);
			if(y>=r[2]&&y*y==remain)
			{
				ok = true;
				for(int i=0;i<3;++i) 
					cout<<r[i]<<" ";
				cout<<y<<endl;
			}
		}
		return;
	}
	if(x==0)
	{
		for(int i=0;p2[i]*4<=X;++i)
		{
			r[0] = i;
			dfs(1,i*i);
		}
	}
	else
	{
		for(int i=r[x-1];p2[i]*(4-x)+preSum<=X;++i)
		{
			r[x] = i;
			dfs(x+1,preSum+p2[i]);
		}
	}
}
int main()
{
	for(int i=0;i*i<maxn;++i)	
	{
		is2[i*i] = true;
	}
	for(int i=0;i<3000;++i)
	{
		p2[i] = i*i;
	}
	while(cin>>X)
	{
		ok = false;
		dfs(0,0);
	}
	return 0;
} 

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9. 密碼脫落

樣例輸入1

ABCBA

樣例輸出1

0

樣例輸入2

ABDCDCBABC

樣例輸出2

3

分析：

        意思就是給一個字符串，問你最少添加幾個字符就可以變成迴文串。
        我們想到了編輯距離。 編輯距離是說把某個字符串增，刪，改一個字符，若干次，最少幾次能變成另一個字符串。編輯距離就可以用dp做。
        迴文串有一個性質：如果a是迴文串，那麼a刪掉左右兩端的字符，仍是迴文串(長度>=2)。同理，迴文子串左右兩邊加上相同的字符仍是迴文串。
        如果知道了子串a[L~R]變成迴文串的最少操作數，那麼a[L-1,R+1]也可以推出
令dp[L][R]爲子串 str[L] 到 str[R] 變爲迴文串需要的最少操作數
則轉移方程如下：

dp[L][L] = 0
dp[L][L+1] = (str[L]==str[L+1])?0:1
dp[L][R] = min(dp[L+1][R-1]+(str[L]!=str[R]),min(dp[L][R-1],dp[L+1][R])+1)

我們發現，dp時要用到長度較短的子串的信息，我們應該按字符串長度從小到大dp。所以這個題用區間DP即可。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1005];
int dp[1003][1003];
int main()
{
	
	while(scanf("%s",s)!=EOF)
	{
		int len = strlen(s);	
		memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
		for(int i=0;i<len;++i) dp[i][i]=0;
		for(int i=0;i+1<len;++i)
		{
			dp[i][i+1] = (s[i]==s[i+1])?0:1;
		}
		for(int L=3;L<=len;++L)
		{
			for(int l=0;l+L-1<len;++l)
			{
				int r = l+L-1;
				dp[l][r] = min(dp[l+1][r],dp[l][r-1])+1;
				dp[l][r] = min(dp[l][r],dp[l+1][r-1]+(s[l]==s[r]?0:1));
			}
		}
		cout<<dp[0][len-1]<<endl;
	} 
	return 0;	
} 

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10. 最大比例

分析：

        要得到最大比例，我們要先求出現有的比例。我們先對所有分數從小到大排序。然後每個數和前一個相除，得到n-1個比例。
        我們將這n-1個比例排序，我們要求的答案ans一定是這些比例的約數，並且滿足ans ^ t == 比例Ki。我們假設某個比例x可以表示爲分數 up/down
up和down互質且down不爲零
x = up / down,
up = P1^C1 * P2^C2 * ... * Pm^Cm,
down = Q1^D1 * Q2^D2 * ... * Qn^Dn,
（其中，Pi, Qi 都是質數）
設我們求的答案ans可以表示爲U/D
我們將U和D分解得到如下的表示：
U = P1^c1 * P2^c2 * ... * Pm^cm
D = Q1^d1 * Q2^d2 * ... * Qn^dn
我們現在要求的是：最大的U/D, 使得對於每個比例K, 都存在正整數ti, 使得U^ti = K.up D^ti = K.down
即存在{t1,t2,t3… tn-1}使得對於每個得到的比例Ki,滿足：
c1*ti = Ki.C1; c2*ti = Ki.C2; ... cm*ti = Ki.Cm
d1*ti = Ki.D1; d2*ti = ki.D2; ... dn*ti = Ki.Dn
我們只需要對每個質因數Pi,求再每個比例中對應的係數的最大公約數即可。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
bool notPrime[maxn];
int sushu[maxn/10],cntPrime; 
struct Node{
   long long up,down;
   Node(){up=0;down=1;}
   Node(long long u,long long d)
   {
   	up = u; down = d;
   }
   bool operator < (const Node& rhs)const
   {
   	return up*rhs.down < rhs.up*down;
   }
}node[200];
map<long long,int> mpu[100],mpd[100];
long long a[maxn];
long long gcd(long long x,long long y)
{
   if(y==0) return x;
   return gcd(y,x%y);
}
long long fast_pow(long long a,long long b)
{
   if(a==0) return 0;
   long long ans = 1;
   while(b)
   {
   	if(b&1) ans = ans*a;
   	a = a*a;
   	b>>=1;
   }
   return ans;
}
void solve(long long small,long long big,int i)
{
   long long g = gcd(big,small);
   small /= g;
   big /= g;
   node[i] = Node(big,small);
}
void getPrime();
void fenjie(long long x,map<long long,int>& mp)
{
   mp.clear();
   for(int i=0;i<cntPrime&&sushu[i]<=x/sushu[i];++i)
   {
   	int p = sushu[i];
   	if(x%p) continue;
   	int c = 0;
   	while(x%p==0)
   		++c, x/=p;
   	mp[p] = c;
   }
   if(x>1) mp[x] = 1;
}
int main()
{
   getPrime();
   set<long long> Set;
   int n;
   long long x;
   cin>>n;
   for(int i=1;i<=n;++i)
   {
   	scanf("%lld",&x);
   	Set.insert(x);
   }
   set<long long>::iterator it;
   int cnt = 0;
   for(it=Set.begin();it!=Set.end();++it)
   {
   	a[++cnt] = *it;
   }
   for(int i=1;i<=cnt;++i)
   for(int i=1;i<cnt;++i)
   {
   	solve(a[i],a[i+1],i-1);
   }
   --cnt;
   sort(node,node+cnt);
   bool has1 = false;
   for(int i=0;i<cnt;++i)
   {
   	fenjie(node[i].up,mpu[i]);
   	if(node[i].down!=1)
   		fenjie(node[i].down,mpd[i]);
   	else
   		has1 = true;
   }
   long long ansu = 1,ansd = 1;
   map<long long,int> mp;
   vector<long long> v;
   for(map<long long,int>::iterator it=mpu[0].begin();it!=mpu[0].end();++it)
   {
   	v.push_back(it->first);
   }
   int len = v.size();
   for(int i=0;i<len;++i)
   {
   	long long p = v[i];
   	int g = mpu[0][p];
   	for(int j=1;j<cnt;++j)
   	{
   		g = gcd(g,mpu[j][p]);
   		if(g==1) break;
   	}
   	mp[p] = g;
   }
   ansu = 1;
   for(map<long long,int>::iterator it=mp.begin();it!=mp.end();++it)
   {
   	ansu *= fast_pow(it->first,it->second);
   }
   
   if(has1) ansd = 1;
   else
   {
   	mp.clear();
   	v.clear();
   	for(map<long long,int>::iterator it=mpd[0].begin();it!=mpd[0].end();++it)
   	{
   		v.push_back(it->first);
   	}
   	int len = v.size();
   	for(int i=0;i<len;++i)
   	{
   		long long p = v[i];
   		int g = mpd[0][p];
   		for(int j=1;j<cnt;++j)
   		{
   			g = gcd(g,mpd[j][p]);
   			if(g==1) break;
   		}
   		mp[p] = g;
   	}
   	ansd = 1;
   	for(map<long long,int>::iterator it=mp.begin();it!=mp.end();++it)
   	{
   		ansd *= fast_pow(it->first,it->second);
   	}
   }
   cout<<ansu<<"/"<<ansd<<endl; 

   return 0;	
} 
void getPrime()
{
   int cnt = 0;
   int n = 1e6+2;
   for(int i=2;i<=n;++i)
   {
   	if(!notPrime[i]) sushu[cnt++] = i;
   	for(int j=0;j<cnt&&1ll*i*sushu[j]<=n;++j)
   	{
   		notPrime[i*sushu[j]] = true;
   		if(i%sushu[j]==0) break;
   	}
   }
   cntPrime = cnt;
}

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xzc
2020.3.4 17:36

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