AcWing 273. 分級 （序列型DP + 前綴最值優化）

AcWing 273. 分級

題目

給一個序列 A，長度 n < 3e3。你需要構造出序列 B，且序列 B只能不增或者不降。求 S 的最小值。$S=\sum_{i=1}^{N}\left|A_{i}-B_{i}\right|$

分析

首先不增或者不降的序列做法都一樣，只需要反轉數組再做一遍求最小值即可。先假設求不降的序列。

題目關鍵（性質）：一定存在一組最優解 B，B 序列的每一個元素都在 A 序列中出現過。
其實自己畫幾個樣例就能發現。
證明
先求出排序過的 $A'$
①： 狀態表示（經驗）

1. 集合：$dp[i][j]$ 表示所有給 $A[1...i]$分配好，且最後一位是 $A'[j]$ 的所有方案集合
2. 屬性：表示集合中所有方案求得結果的最小值

②： 狀態轉移

因爲最後一位已經確定，根據倒數第二位來劃分集合 $dp[i][j]$（繼續劃分），枚舉 $k$ ( k <= j) ----> $dp[i-1][k] + (b[j] - a[i])$

複雜度 $O(n3)$

當然，這裏的 $k$ 還是可以通過前綴最大值優化，變成 $O(n2)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e3 + 5;

int n, a[N], b[N];
int dp[N][N];

int DP() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		b[i] = a[i];
	sort(b + 1, b + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int minv = INF;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			minv = min(minv, dp[i-1][j]);	// 記錄前綴最值
			dp[i][j] = minv + abs(b[j] - a[i]);
		}
	}
	int ans = INF;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		ans = min(ans, dp[n][i]);
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		scanf("%d", &a[i]);
	int res = DP();
	reverse(a + 1, a + n + 1);
	res = min(res, DP());		// 求兩次取最小
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}