動態規劃應用舉例_揹包問題

揹包問題（Knapsack Problem）

問題描述

一個旅行者隨身攜帶一個揹包，可以放入揹包的物品有 n 種，每種物品的重量和價值分別爲wi，vi。如果揹包的最大重量限制是 b， 每種物品可以放多個。怎樣選擇放入揹包的物品以使得揹包的價值最大? 設上述wi，vi，b 都是正整數。

問題建模

解是 < x1, x2,…, xn >，其中 xi 是裝入揹包的第 i 種物品個數。

線性規劃問題：由線性條件約束的線性函數取最大或最小的問題。
整數規劃問題：線性規劃問題的變量 xi 都是非負整數。

子問題界定和計算順序

子問題界定：由參數 k 和 y 界定
k：考慮對物品 1, 2, … , k 的選擇。
y：揹包總重量不超過 y。

原始輸入：k = n，y = b。
子問題計算順序：k = 1,2, … , n 對於給定的 k，y = 1, 2, … ,b.

優化函數的遞推方程

Fk(y)：裝前 k 種物品，總重不超過 y，揹包達到的最大價值。

標記函數

ik(y)：裝前k種物品,總重不超y,揹包達到最大價值時裝入物品的最大標號

實例

追蹤解

時間複雜度

備忘錄需計算nb項，每項常數時間,計算時間爲O(nb) .

代碼實例

題目描述：
有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的價值是C[i]，重量是W[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

輸入描述：
輸入第一行數 N V (1 <=N <=500) (1<= V <= 10000)
輸入 N 行 兩個數字 代表 C W (1 <= C <= 50000, 1 <= W <=10000)

示例

輸入
5 10
8 6
10 4
4 2
5 4
5 3

輸出
19

代碼實現

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    int N,V;
    while(cin >> N >> V)
    {
        vector<int> value(N);//存儲每個物品的價值
        vector<int> capacity(N);//存儲每個物品的容量
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            cin >> value[i] >> capacity[i];
        }
        vector<vector<int>> dp(N+1,vector<int>(V+1,0));
        //有N+1行，但是從1開始遍歷，所以每行表示每個物品
        //有V+1列，但是從1開始遍歷，所以每列表示從1開始到最大容量 的 各種情況下 的 物品最大價值存儲
        for(int i = 1; i < N+1; ++i)
        {
            for(int j = 1; j < V+1; ++j)
            {
                if(capacity[i-1] > j)//如果不下，那就等於上次的最優存儲
                {//這裏的capacity[i-1]是因爲這裏的i從1開始
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
                else//如果能放下，有兩種情況：1、放 2、不放
                    //放和不放取決於放了之後是否是最優的，於是創建一個臨時變量。
                {//dp[i-1][j-capacity[i-1]]：i-1：上面一行，j-capacity[i-1]：裝了i-1這個物品之後還剩的容量。
                //所以整體就是：當前的tmp_best == 裝了i-1物品的價值 + 裝了這個物品後剩餘的容量還可以裝的最優的方案
                    int tmp_best = value[i-1] + dp[i-1][j-capacity[i-1]];
                    dp[i][j] = max(tmp_best,dp[i-1][j]);
                }
            }
        }
        //返回最後一個元素就是最優的方案
        cout << dp[N][V] << endl;
    }
    return 0;
}