key-value緩存和存儲系統通常用於互聯網產品的開發中，作爲後端磁盤存儲系統的緩存，或記錄和處理龐大的用戶日誌。Redis是一個高性能的key-value存儲系統，可以存儲多種數據類型，如string, hash, list, set, bitmap, hyperloglog等。Redis的數據緩存在內存中，極大地提高了數據庫的讀寫效率。
表1爲Redis一些基本操作的時間複雜度，可以看出，Redis操作效率會隨着數據集的增加而明顯降低。因此，當數據集較爲龐大時，需要從單位操作時間和內存利用率方面對數據庫進行優化。下面介紹一種運用y-Fast tries優化Redis整數集操作的方法。
表1 Redis數據操作的時間複雜度
|
Operation |
Redis |
|
Insert |
O(n) |
|
Search |
O(logn) |
|
Remove |
O(n) |
數據結構介紹：
1. x-Fast Tires
x-Fast Tires（圖1）是一個用於存儲整數的線索二叉樹，線索二叉樹具有快速查找前驅和後繼節點的特點。在該數據結構中，有效數值均存儲在葉子節點中，葉子節點由一個雙向鏈表連接。樹中每一層的節點單獨存儲於一個hash表中，樹的空間複雜度爲O(nlog(U)).
圖1 x-Fast Tries結構示意圖(From Stanford PPT)
x-Fast Tries的深度爲log(U)，由於每層的節點都存儲在hash表中，因而判斷一個節點是否處於某一層中只需O(1)的時間。爲了尋找到這個節點，可以在樹上跨層做二分查找，因爲樹的深度爲log(U)，所以查找的時間複雜度爲O(loglog(U))。依此，可以分析出x-FastTries節點操作的時間複雜度：
表2 x-Fast Tires時間複雜度
|
Operation |
Time |
Operation |
Time |
|
insert(x) |
O(log(U)) |
is-empty() |
O(1) |
|
search(x) |
O(1) |
remove(x) |
O(log(U)) |
|
succ(x) |
O(loglog(U)) |
prev(x) |
O(loglog(U)) |
|
max() |
O(1) |
min() |
O(1) |
由上表可以看出，insert和remove操作的效率還比較低，因此引入了y-Fast Tries.
2. y-Fast Tries
Y-Fast Tries是Willard, DanE提出的一種tries，由x-Fast Tires和平衡二叉搜索樹節點集組合而成（圖2）。它有一個突出的特點，即能夠在loglog(U)時間內完成數據庫的多種操作（表3），U爲整數空間的size. 當U=2^64時，loglog(U)=6，這意味着在一個64位機上，Y-Fast tries可以在6步之內完成所有操作。並且，該數據結構可以在空間複雜度爲O(n)情況下完成所有操作。
圖2 y-Fast Tries結構示意圖 (From wikipedia)
表3 y-Fast Tires時間複雜度
|
Operation |
Time |
Operation |
Time |
|
insert(x) |
O(loglog(U)) |
is-empty() |
O(1) |
|
search(x) |
O(loglog(U)) |
remove(x) |
O(loglog(U)) |
|
succ(x) |
O(loglog(U)) |
prev(x) |
O(loglog(U)) |
|
max() |
O(1) |
min() |
O(1) |
假設每個搜索二叉樹有O(log(U))個元素，樹中所有定義在有序字典上的操作均可在O(loglog(U))完成。應用時，要確保每個搜索二叉樹的節點數在1/2 log(U)~ 2 log(U)之間，當小於這個數值時，合併鄰居節點，大於時，則產生分裂。y-Fast Tires的設計直覺是先利用x-Fast Tries定位子樹，然後在子樹上的進一步數據操作可以保證在O(loglog(U))時間內完成。
在空間複雜度上，每個搜索二叉樹有O(log(U))個元素，x-Fast Tries中有O(n/log(U))個元素，因此總的空間複雜度爲O(n/log(U)·log(U))= O(n).
優化結果：
1. 測試平臺
CPU: 16 x Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2670 0 @2.60GHz
Memory: 140GB
Kernel: Linux-3.14.3
2. 測試結果
在原始Redis和y-Fast Tries優化後的數據庫中，整數集單次操作耗時如下圖，
操作耗時爲採用log尺度統計，可以看出，Y-Fast Tries優化後的操作效率明顯高於原始Redis的效率，在remove操作中效果最爲顯著。
Redis：
Y-Fast Tries：