前幾天發佈的關於“圖”的漫畫中，十字鏈表的部分有一些小錯誤，在此做一下更正。
圖的概念
究竟什麼是圖呢？大家先來想一想咱們常用的互聯網產品。
舉個栗子，大家一定都用過微信，假設你的微信朋友圈中有若干好友：張三、李四、王五、趙六、七大姑、八大姨。
而你七大姑的微信號裏，又有若干好友：你、八大姨、Jack、Rose。
微信中，許許多多的用戶組成了一個多對多的朋友關係網，這個關係網就是數據結構當中的圖（Graph）。
再舉一個栗子，咱們在用百度地圖的時候，常常會使用導航功能。比如你在地鐵站A附近，你想去的地點在地鐵站F附近，那麼導航會告訴你一個最佳的地鐵線路換乘方案。
這許許多多地鐵站所組成的交通網絡，也可以認爲是數據結構當中的圖。
圖，是一種比樹更爲複雜的數據結構。樹的節點之間是一對多的關係，並且存在父與子的層級劃分；而圖的頂點（注意，這裏不叫節點）之間是多對多的關係，並且所有頂點都是平等的，無所謂誰是父誰是子。
圖的術語
下面我們來介紹一下圖的基本術語：
在圖中，最基本的單元是頂點（vertex），相當於樹中的節點。頂點之間的關聯關係，被稱爲邊（edge）。
在有些圖中，每一條邊並不是完全等同的。比如剛纔地鐵線路的例子，從A站到B站的距離是3公里，從B站到C站的距離是5公里......這樣就引入一個新概念：邊的權重（Weight）。涉及到權重的圖，被稱爲帶權圖（Weighted Graph）。
還有一種圖，頂點之間的關聯並不是完全對稱的。還拿微信來舉例，你的好友列表裏有我，但我的好友列表裏未必有你。
這樣一來，頂點之間的邊就有了方向的區分，這種帶有方向的圖被稱爲有向圖。
相應的，在QQ當中，只要我把你從好友裏刪除，你在自己的好友列表裏也就看不到我了。（貌似是這樣）
因此，QQ的好友關係可以認爲是一個沒有方向區分的圖，這種圖被稱爲無向圖。
圖的表示
鄰接矩陣
擁有n個頂點的圖，它所包含的連接數量最多是n（n-1）個。因此，要表達各個頂點之間的關聯關係，最清晰易懂的方式是使用二維數組（矩陣）。
具體如何表示呢？我們首先來看看無向圖的矩陣表示：
如圖所示，頂點0和頂點1之間有邊關聯，那麼矩陣中的元素A[0][1]與A[1][0]的值就是1；頂點1和頂點2之間沒有邊關聯，那麼矩陣中的元素A[1][2]與A[2][1]的值就是0。
像這樣表達圖中頂點關聯關係的矩陣，就叫做鄰接矩陣。
需要注意的是，矩陣從左上到右下的一條對角線，其上的元素值必然是0。這樣很容易想明白：任何一個頂點與它自身是沒有連接的。
同時，無向圖對應的矩陣是一個對稱矩陣，V0和V1有關聯，那麼V1和V0也必定有關聯，因此A[0][1]和A[1][0]的值一定相等。
那麼，有向圖的鄰接矩陣又是什麼樣子呢？
從圖中可以看出，有向圖不再是一個對稱矩陣。從V0可以到達V1，從V1卻未必能到達V0，因此A[0][1]和A[1][0]的值不一定相等。
鄰接矩陣的優點是什麼呢？簡單直觀，可以快速查到一個頂點和另一頂點之間的關聯關係。
鄰接矩陣的缺點是什麼呢？佔用了太多的空間。試想，如果一個圖有1000個頂點，其中只有10個頂點之間有關聯（這種情況叫做稀疏圖），卻不得不建立一個1000X1000的二維數組，實在太浪費了。
鄰接表和逆鄰接表
爲了解決鄰接矩陣佔用空間的問題，人們想到了另一種圖的表示方法：鄰接表。
在鄰接表中，圖的每一個頂點都是一個鏈表的頭節點，其後連接着該頂點能夠直接達到的相鄰頂點。
很明顯，這種鄰接表的存儲方式，佔用的空間比鄰接矩陣要小得多。
要想查出從頂點0能否到達頂點1，該怎麼做呢？很簡單，我們從頂點0開始，順着鏈表的頭節點向後遍歷，看看後繼的節點中是否存在頂點1。
要想查出頂點0能夠到達的所有相鄰節點，也很簡單，從頂點0向後的所有鏈表節點，就是頂點0能到達的相鄰節點。
那麼，要想查出有哪些節點能一步到達頂點1，又該怎麼做呢？這樣就麻煩一些了，我們要遍歷每一個頂點所在的鏈表，看看鏈表節點中是否包含節點1，最後發現頂點0和頂點3可以到達頂點1。
像這種逆向查找的麻煩，該如何解決呢？我們可以是用逆鄰接表來解決。
逆鄰接表顧名思義，和鄰接表是正好相反的。逆鄰接表每一個頂點作爲鏈表的頭節點，後繼節點所存儲的是能夠直接達到該頂點的相鄰頂點。
這樣一來，要想查出有哪些節點能一步到達頂點1就容易了，從頂點1向後的所有鏈表節點，就是能一步到達頂點1的節點。
因此，我們可以根據實際需求，選擇使用鄰接表還是逆鄰接表。
十字鏈表
十字鏈表長什麼樣呢？用最直觀的示意，是下面這樣：
如圖所示，十字鏈表的每一個頂點，都是兩個鏈表的根節點，其中一個鏈表存儲着該頂點能到達的相鄰頂點，另一個鏈表存儲着能到達該頂點的相鄰節點。
不過，上圖只是一個便於理解的示意圖，我們沒有必要把鏈表的節點都重複存儲兩次。在優化之後的十字鏈表中，鏈表的每一個節點不再是頂點，而是一條邊，裏面包含起止頂點的下標。
十字鏈表節點和邊的對應關係，如下圖所示：
因此，優化之後的十字鏈表，是下面這個樣子：
圖中每一條帶有藍色箭頭的鏈表，存儲着從頂點出發的邊；每一條帶有橙色箭頭的鏈表，存儲着進入頂點的邊。初學十字鏈表的時候，可能會覺得有些亂。
總結
1.我們這一次介紹了圖的定義和分類。根據圖的邊是否有方向，可分爲有向圖和無向圖。根據圖的邊是否有權重，可分爲帶權圖和無權圖。當然，也可以把兩個維度結合起來描述，比如有向帶權圖，無向無權圖等等。
2.圖的表示方法有很多種。包括鄰接矩陣、鄰接表、逆鄰接表、十字鏈表。（還有一種鄰接多重表，有興趣的小夥伴可以自學下）
