[BZOJ2844]albus就是要第一個出場

題目

傳送門 to BZOJ

傳送門 to VJ

思路

看到異或，想到線性基。再仔細觀察一下，好像每個元素出現的次數都是一樣的耶！

我們有兩種證明方法。其一是，考慮某個異或和出現次數超過一的原因：$\bigoplus_{cyc}a=0$ ，所以一個已經存在的方案與之異或即可得到新方案。顯然這一條對於所有數字的湊出都適用。

其二更嚴謹。線性基中曾經用到過這個重要結論：$\{a,b,\dots\}$ 與 $\{a,a\oplus b,\dots\}$ 的所有子集的異或和相同。既然如此，把集合中的每個元素都變化成線性基中的元素，並記錄其個數。即：知曉集合變成了 $\{n_1\times x_1,n_2\times x_2,\dots\}$ 。其中 $a\times b$ 表示 $a$ 個 $b$ 元素。

此時湊出一個數的方案有多少個呢？如果我們需要一個 $x_1$ ，那麼我們需要在 $n_1$ 中選出奇數個數字，否則是偶數個。這個數量顯然是 $2^{n_1-1}$ ，二者都是。然後湊出一個數的最終個數爲 $\prod_{i}2^{n_i-1}=2^{n-cnt}$ ，因爲 $\sum_{i}n_i=n$ 。$cnt$ 表示線性基中的元素個數。

現在，我們的目標是，求出 $[0,q)$ 中有多少個不同的異或和。這是很簡單的，因爲小於 $q$ 的數字一定存在一個二進制位，滿足這一位以前相同、這一位較小。這就是線性基可以處理的了。假設這一位是 $i$ ，在 $q$ 的第 $i$ 位爲 $1$ 的情況下，線性基中有 $r$ 個元素可以操控比 $i$ 更低的位，那麼方案數就是 $2^r$ ，線性基中的元素隨便選唄。

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int_ readint(){
	int_ x; scanf("%lld",&x); return x;
}

const int zxy = 10086;

int_ d[100]; int cnt;
void insert(int_ x){
	for(int i=63; i>=0&&x; --i){
		if((x>>i&1) == 0) continue;
		if(d[i] != 0) x ^= d[i];
		else {
			d[i] = x, ++ cnt; break;
		}
	}
}

int main(){
	int n = readint();
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		insert(readint());
	int ans = 0, k = readint();
	for(int i=0,t=1; i<64; ++i){
		if(d[i] == 0) continue;
		if(k>>i&1) ans = (t+ans)%zxy;
		t = (t<<1)%zxy; // pow
	}
	for(int i=1; i<=n-cnt; ++i)
		ans = (ans<<1)%zxy;
	printf("%d\n",(ans+1)%zxy);
	return 0;
}

後記

重要的事情說一百遍。請將模數取名爲 $zxy$ ！——《爆零是$zxy$的謊言》

zxy orz
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