Unity之向量

向量表示的是方向和大小，與位置距離無關

三維空間的表示如下

在unity3d中採用的struct來描述的Vector3

namespace UnityEngine
{
    public struct Vector3
    {

        public float x;
        public float y;
        public float z;
         }
}

向量的長度:向量的大小（或長度）稱爲向量的模

public float magnitude
{
    get
    {
        return Mathf.Sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z);
    }
}

public float sqrMagnitude
{
    get
    {
        return this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z;
    }
}

三維空間中兩點的距離

public static float Distance(Vector3 a, Vector3 b)
{
    Vector3 vector = new Vector3(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);
    return Mathf.Sqrt(vector.x * vector.x + vector.y * vector.y + vector.z * vector.z);
}

向量加法

public static Vector3 operator +(Vector3 a, Vector3 b)
{
    return new Vector3(a.x + b.x, a.y + b.y, a.z + b.z);
}

向量減法

public static Vector3 operator -(Vector3 a, Vector3 b)
{
    return new Vector3(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);
}

向量點積(dot product)又稱數量積或內積

public static float Dot(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return lhs.x * rhs.x + lhs.y * rhs.y + lhs.z * rhs.z;
}

根據公式A.B = |A||B|cos(a)得出兩個向量之間的弧度的角度

public static float AngleBetween(Vector3 from, Vector3 to)
    {
        return Mathf.Acos(Mathf.Clamp(Vector3.Dot(from.normalized, to.normalized), -1f, 1f));
    }

public static float Angle(Vector3 from, Vector3 to)
    {
        return Mathf.Acos(Mathf.Clamp(Vector3.Dot(from.normalized, to.normalized), -1f, 1f)) * 57.29578f;//角度
    }

弧度=角度乘以π後再除以180

角度=弧度除以π再乘以180

其中a是A和B在3D空間中的夾角。如果已知兩個向量，使用數量積我們就可以通過計算求得兩個向量的夾角

判斷目標在自己的前後方位可以使用下面的方法:

Vector3.Dot(transform.forward, target.position)

返回值爲正時,目標在自己的前方,反之在自己的後方

向量叉積 ：U和V的向量積（cross product，矢量積或外積）產生一個向量，它垂直於U和V，公式：U × V = n |U| |V| sin(a)，其中n爲垂直於U和V的單位向量，a是U和V的夾角

public static Vector3 Cross(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return new Vector3(lhs.y * rhs.z - lhs.z * rhs.y, lhs.z * rhs.x - lhs.x * rhs.z, lhs.x * rhs.y - lhs.y * rhs.x);
}

 判斷目標在自己的左右方位可以使用下面的方法:

 Vector3.Cross(transform.forward, target.position).y

 返回值爲正時,目標在自己的右方,反之在自己的左方

數乘向量:實數λ與向量b的積是一個向量，記作：a=λb。規定：當λ爲正時，同向；當λ爲負時，反向；實數λ，叫做向量的係數。數乘向量的幾何意義就是把向量沿着相同方向或反方向放大或縮小

public static Vector3 operator *(Vector3 a, float d)
{
    return new Vector3(a.x * d, a.y * d, a.z * d);
}

public static Vector3 operator *(float d, Vector3 a)
{
    return new Vector3(a.x * d, a.y * d, a.z * d);
}

向量比較：

public static bool operator ==(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return Vector3.SqrMagnitude(lhs - rhs) < 9.99999944E-11f;
}

public static bool operator !=(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return Vector3.SqrMagnitude(lhs - rhs) >= 9.99999944E-11f;
}

向量的規範化: 向量的規範化也稱（歸一化）就是使向量的模變爲1，即變爲單位向量。可以通過將向量都除以該向量的模來實現向量的規範化。規範化後的向量相當於與向量同方向的單位向量，可以用它表示向量的方向。由於方向的概念在3D編程中非常重要，所以此概念也很重要，單位向量有很多重要的性質，在表示物體表面的法線向量時用的更是頻繁 

public static Vector3 Normalize(Vector3 value)
{
    float num = Vector3.Magnitude(value);
    if (num > 1E-05f)
    {
        return value / num;
    }
    return Vector3.zero;
}

投影:一般用於透視，下圖u'是u在v上的投影，向量u和v的夾角爲theta，d就是u’的長度，而u’和v的方向是相同的，v/|v|也就是u’的方向

public static Vector3 Project(Vector3 vector, Vector3 onNormal)
{
    float num = Vector3.Dot(onNormal, onNormal);
    if (num < 1.17549435E-38f)
    {
        return Vector3.zero;
    }
    return onNormal * Vector3.Dot(vector, onNormal) / num;
}

反射向量: 下圖入射光線向量I和平面法向量N，R爲反射向量，R=I-2（I.N）N

推導如下：

設入射光線向量I和反射平面的法向量N之間的夾角爲theta。連接I的始端和R的末端，則有R = 2P - I 

設入射點0到P與N的交點的向量爲S，那麼有P = I + S 

向量S即向量-N（注意，這裏是-N，因爲S和N的方向相反。）在向量N上的投影，根據向量的投影公式有,簡化後有：S=-（I.N）N，將R和P代入，有R=I-2（I.N）N

public static Vector3 Reflect(Vector3 inDirection, Vector3 inNormal)
{
    return -2f * Vector3.Dot(inNormal, inDirection) * inNormal + inDirection;
}