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說在前面
出於尊重，簡單介紹一下歐幾里得（想了解更多自己百度去）
歐幾里得（希臘文：Ευκλειδης ，公元前330年—公元前275年），古希臘數學家。他活躍於托勒密一世（公元前364年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞，被稱爲“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，提出五大公設，歐幾里得幾何，被廣泛的認爲是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。
歐幾里得算法
簡介歐幾里得算法
歐幾里得算法（也稱輾轉相除法）是目前已知求最大公約數的最快通用算法，具有代碼複雜度低、易理解、用途廣等諸多優點，也是OI中不可或缺的的一種算法。（信息學白皮書裏也有提到）
若有兩個數a和b，需要求a和b的最大公約數，怎麼辦？
枚舉它們的因子？ 小數據可以，大數據的話，這個O（n）的算法就圖森破了。
分解質因數？在大數面前也是拿衣服的。
總不能不搞吧，上帝喊了一聲“效率”，於是我們便有了O（log n）效率極高的歐幾里得算法。
引理
歐幾里得有個非常強的定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，讓我們來證明一下（mod 是取餘，gcd是最大公約數，| 是能整除）
假設a、b的公約數爲k，a = bx + y
則 k | a，k | b，a mod b=y
因爲 k | b，所以 k |bx，又因爲 k | a，所以 k | (a - bx)，即 k | y
而a mod b = y，所以 k | a mod b
再假設b、a mod b的公約數爲kk，同理得 kk | a，所以（a，b）和（b，a mod b）的公約數是相同的，所以它們的最大公約數也是相同的
所以gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
時間複雜度（討論情況爲a>=b）
a mod b必然是小於a/2的，而上一次的b會變成下一次的a，上一次的a mod b會變成下一次的b，最壞情況也就是b在a/2附近，即a mod b在a/2附近。在最壞情況時每次的值也會減少一半，所以說時間複雜度是O（log n）的。（實際中往往會更低）
算法實現
有了以上的引理算法實現就非常簡單了，遞歸和非遞歸形式都可以。任何數與0的最大公約數是它本身，所以一直操作直到b = 0時的a就是原a，b的最大公約數了。
僞代碼：
while(b!=0)
{
r = a % b;
a = b;
b = r;
}
//最終的a即爲原a,b最大公約數擴展歐幾里得算法
簡介擴展歐幾里得算法
擴展歐幾里得算法的功能就更強大了，它可以用來求二元一次方程的通解，還可以用來求乘法逆元。
在此順便簡介一下乘法逆元：
若有 a*x ≡ 1 （mod m），則稱 x 爲a關於m的乘法逆元，等價式 a * x+m * y = 1
這就也是個二元一次方程了，ExGcd可搞。
引理
裴蜀定理：若ax+by = z，則 gcd（a，b）| z
再順手證明一下裴蜀定理：
設k = gcd（a，b），則 k | a， k | b，根據整除的性質，有 k | （ax+by）
設 s爲ax+by的最小正數值
再設 q = [a / s]（a整除s的值）；r = a mod s = a-q（ax+by） = a（1 - qx）+b（-qy）；
由此可見r也爲a，b的線性組合；（ax+by稱爲a，b的線性組合）
又因爲s爲a，b的線性組合的最小正數值，0<= r < s，所以r的值爲0，即 a mod s = r =0；s | a；
同理可得 s | b，則 s | k；
又因爲 k | （ax+by），s爲ax+by的最小正數值，所以 k | s；
因爲 s | k，k | s，所以s = k；
原命題得證。
（點這裏有裴蜀定理與乘法逆元的詳解）
如何求解 （以下討論a>b）
顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
當a>b>0 時
設 ax1+ by1= gcd（a，b）；
bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；
根據歐幾里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；
則：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；
即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]代表a整除b）
也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；
根據恆等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；
這樣我們就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2
由引理我們知道：ax+by = z，z爲gcd（a，b）若干倍，所以我們先求解ax+by = gcd（a，b），再將求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。
算法實現
我們依舊遞歸實現，因爲上一次的x，y與下一次的x，y的值有關，所以我們從x=1，y=0（此時b=0）的情況開始遞歸上來，套公式就好了。（a，b下去，x，y上來）
僞代碼：
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b,a%b,x,y);
t = x; x = y;
y = t-a/b*y;
return r;
}按照慣例再說兩句
本人蒟蒻一枚，博客難免有誤，發現錯誤的大牛牪犇可以發私信聯繫本人指正錯誤。另外本博客可能會更新，可以考慮收藏一下。
好了，暫時就講這麼多了，如果絕對這裏講解得不夠詳細，也可以私信聯繫本人交流一下。
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