jzoj3860-地殼運動(mst)【最小生成樹,三分】

正題

題目鏈接:https://jzoj.net/senior/#contest/show/3002/1

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題目大意

$n$個點$m$條邊，每條邊有$(u,v)$兩個權值。

$q$個詢問，每次詢問一個$(k1,k2)$，將所有邊的權值變爲$u*k1+v*k2$後求最小生成樹。

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解題思路

首先$u*k1+v*k2\Rightarrow (u+v*\frac{k2}{k1})*k1$，所以決策可以線性表示出來。

我們考慮維護一個座標系$(x,y)$表示$u$值和爲$x$的生成樹中$y$值和最小是多少。

顯然$x$增大時$y$在減小，所以這是一個下突殼。

考慮維護這一個突殼，首先是兩個端點$l:(k1=0,k2=1)$時和$r:(k1=1,k2=0)$各做一次最小生成樹，此時我們考慮找到一個在線段$(l,r)$的左下角最遠的點$mid$。

通過差積各種證明後我們發現有$mid(k1=|y_l-y_r|,k2=|x_l-x_r|)$，然後分治下去處理$(l,mid)$和$(r,mid)$。

當$mid$在線段$(l,r)$上時，證明左下角已經沒有更優的點，所以可以返回了。

最後在突殼上三分答案就好了。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int M=25100,N=40;
struct node{
	int x,y;
	double u,v;
}a[M];
struct knode{
	double k1,k2,x,y;
}k[M*4],head,tail;
int n,m,q,fa[N],tot;
double k1,k2;
int find(int x)
{return fa[x]==x?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
bool cmp(node x,node y)
{return x.u*k1+x.v*k2<y.u*k1+y.v*k2;}
void Get_Tree(knode &k){
	k1=k.k1;k2=k.k2;
	k.x=k.y=0;
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
	int z=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int fx=find(a[i].x),fy=find(a[i].y);
		if(fx!=fy){
			if(fx>fy) swap(fx,fy);
			fa[fy]=fx;z--;
			k.x+=a[i].u;k.y+=a[i].v;
		}
	}
	return;
}
void Solve(knode l,knode r){
	knode mid;
	mid.k1=fabs(r.y-l.y);
	mid.k2=fabs(r.x-l.x);
	Get_Tree(mid);
	if(l.y==mid.y||l.y==r.y||(l.x-r.x)/(l.y-r.y)==(l.x-mid.x)/(l.y-mid.y))return;
	Solve(l,mid);k[++tot]=mid;
	Solve(mid,r);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].u,&a[i].v);
	head.k1=1;tail.k2=1;
	Get_Tree(head);Get_Tree(tail);
	k[tot=1]=head;Solve(head,tail);k[++tot]=tail;
	while(q--){
		scanf("%lf%lf",&k1,&k2);
		int l=1,r=tot;
		double ans=1e18;
		while(l<r){
			if(r-l<=2)break;
			int mid1=l+(r-l+1)/3,mid2=l+(r-l+1)/3*2;
			if(k[mid1].x*k1+k[mid1].y*k2<k[mid2].x*k1+k[mid2].y*k2) r=mid2;
			else l=mid1;
		}
		for(int i=l;i<=r;i++)
			ans=min(k[i].x*k1+k[i].y*k2,ans);
		printf("%.3lf\n",ans);
	}
}