HDU 5950——Recursive sequence

• Recursive sequence

題意：給定起始的兩個數a,b，求第n個數%mod

思路：
第一眼看出來是矩陣快速冪，不過當時沒推出來（其實推了一半把自己給否定了）
正解是，根據二項式定理，對於f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+n^4可以轉換爲
f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+c(4,0)(n-1)^4+c(4,1)(n-1)^3+c(4,2)(n-1)^2+c(4,3)(n-1)+c(4,4) (#1)

那麼，對於下一項:
f(n+1)=f(n)+2f(n-1)+c(4,0)(n)^4+c(4,1)(n)^3+c(4,2)(n)^2+c(4,3)(n)+c(4,4) (#2)

可以發現#2的f(n),f(n-1),n^4,n^3,n^2,n,1都可以通過#1構造出來，那麼根據倍數關係構造相關的矩陣即可。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 2147493647ll;

struct Matirx{
    int r, c;
    ll mat[10][10];
};

Matirx Mul(Matirx a, Matirx b){
    Matirx ret;
    ret.r = a.r;
    ret.c = b.c;
    for(int i = 0; i < ret.r; i++){
        for(int j = 0; j < ret.c; j++){
            ret.mat[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < a.c; k++){
                ret.mat[i][j] += a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                ret.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ret;
}

Matirx Quick_pow(Matirx a, ll n){
    Matirx ret;
    ret.r = ret.c = 7;
    memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat));
    for(int i = 0; i < 7; i++) ret.mat[i][i] = 1;
    while(n){
        if(n&1) ret = Mul(ret, a);
        a = Mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

void build(Matirx& t){
    t.r = t.c = 7;
    t.mat[0][0] = 1, t.mat[0][1] = 4, t.mat[0][2] = 6, t.mat[0][3] = 4, t.mat[0][4] = 1, t.mat[0][5] = 0, t.mat[0][6] = 0;//1
    t.mat[1][0] = 0, t.mat[1][1] = 1, t.mat[1][2] = 3, t.mat[1][3] = 3, t.mat[1][4] = 1, t.mat[1][5] = 0, t.mat[1][6] = 0;//2
    t.mat[2][0] = 0, t.mat[2][1] = 0, t.mat[2][2] = 1, t.mat[2][3] = 2, t.mat[2][4] = 1, t.mat[2][5] = 0, t.mat[2][6] = 0;//2
    t.mat[3][0] = 0, t.mat[3][1] = 0, t.mat[3][2] = 0, t.mat[3][3] = 1, t.mat[3][4] = 1, t.mat[3][5] = 0, t.mat[3][6] = 0;//4
    t.mat[4][0] = 0, t.mat[4][1] = 0, t.mat[4][2] = 0, t.mat[4][3] = 0, t.mat[4][4] = 1, t.mat[4][5] = 0, t.mat[4][6] = 0;//5
    t.mat[5][0] = 0, t.mat[5][1] = 0, t.mat[5][2] = 0, t.mat[5][3] = 0, t.mat[5][4] = 0, t.mat[5][5] = 0, t.mat[5][6] = 1;//6
    t.mat[6][0] = 1, t.mat[6][1] = 4, t.mat[6][2] = 6, t.mat[6][3] = 4, t.mat[6][4] = 1, t.mat[6][5] = 2, t.mat[6][6] = 1;//7
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    ll N, a, b;
    while(T--){
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &N, &a, &b);
        if(N == 1) printf("%I64d\n", a%mod);
        else if(N == 2) printf("%I64d\n", b%mod);
        else{
            Matirx temp;
            build(temp);
            Matirx ret = Quick_pow(temp, N-2);
            temp.r = 7;
            temp.c = 1;
            temp.mat[0][0] = 16,temp.mat[1][0] = 8,temp.mat[2][0] = 4,temp.mat[3][0] = 2,temp.mat[4][0] = 1,temp.mat[5][0] = a%mod, temp.mat[6][0] = b%mod;
            ret = Mul(ret, temp);
            printf("%I64d\n", ret.mat[6][0]);
        }
    }
    return 0;
}