[LeetCode]（面試題14- I）剪繩子

題目

給你一根長度爲 n 的繩子，請把繩子剪成整數長度的 m 段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記爲 k[0],k[1]...k[m-1] 。請問 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別爲2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

示例 1：

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

解題思路

解法一：動態規劃

定義函數 f(n) 爲把長度爲 n 的繩子剪成若干段後各段長度乘積的最大值，由於題目要求至少要剪一刀，假設第一刀剪在長度爲 j 的位置（1<=j<=n/2, j爲整數），那麼繩子就分成了 j 與 n-j 的兩段，那麼 f(n) = max(f(j)*f(n-j)), 其中1<=j<=n/2, j爲整數）。
初始值：

當 n=1 時，沒法減，f(1) = 0;
當 n=2 時，只能剪成 1+1 的兩段，所以 f(2) = 1*1 =1;
當 n=3 時，可以剪成 1+2 的兩段，所以 f(3) = 1*2 = 2;
當 n=4 時，可以剪成 1+3 的兩段，或者 2+2 的兩段，由於 2*2 > 1*3，所以 f(4) = 2*2 = 4;

複雜度分析：
時間複雜度：O(n^2)。
空間複雜度：O(n)。

解法二：貪心算法

歸納起來一句話，就是當 n>=5 時，應儘可能地多剪長度爲 3 的繩子。當剩下的長度爲 4 時，把繩子剪成兩段長度爲 2 的繩子。
證明：
1）當 n>=5 時，3*(n-3) > n，2*(n-2) > n，也就是說，當剩下的繩子長度大於等於5時，就把它剪成長度爲 3 或者 2 的繩子段。又當 n>=5 時，3*(n-3) >= 2*(n-2) ，所以應儘可能多剪出長度爲 3 的繩子段來。
2）當 n=4 時，如果要剪一刀，可以剪成 1+3 的兩段，或者 2+2 的兩段，由於 4 = 22 > 13，所以其實沒必要剪，只是題目要求至少要剪一刀，那就剪成 2+2 的兩段好了，最大乘積爲 2*2 = 4;
3）其他 n<4 的情況，見解法一。

複雜度分析：
時間複雜度：O(1)。
空間複雜度：O(1)。

代碼

解法一：動態規劃

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 特殊情況
        if(n<2){
            return 0;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
        if(n==3){
            return 2;
        }
        // 其他情況
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i=4; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=i/2; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]*dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

解法二：貪心算法

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 特殊情況
        if(n<2){
            return 0;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
        if(n==3){
            return 2;
        }
        // 其他情況
        // 儘可能地多剪成3
        int time3 = n/3;
        int nextLen = n - 3*time3;
        // 如果最後剩下的長度爲1，那麼從3那裏拿出1來湊成2*2，因爲 2*2>3*1
        if(nextLen == 1){
            time3--;
        }
        int time2 = (n-3*time3)/2;
        int res = (int)(Math.pow(3, time3) * Math.pow(2, time2));
        return res;
    }
}