leetcode_4_median-of-two-sorted-arrays

兩個排序的數組A和B分別含有m和n個數，找到兩個排序數組的中位數，要求時間複雜度應爲O(log (m+n))。

給出數組A = [1,2,3,4,5,6] B = [2,3,4,5]，中位數3.5
給出數組A = [1,2,3] B = [4,5]，中位數 3
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這道題的難度等級爲困難，難就難在要求時間複雜度爲O(logn)，那就不能使用普通的遍歷來做，那樣時間複雜度爲O(n)。
首先在隨機位置將A分成兩部分：
left_A | right_A
A [0]，A [1]，...，A [i-1] | A [i]，A [i + 1]，...，A [m-1]
由於A有m個元素，所以有m + 1種切割（i = 0〜m）。其中：left_A.size() = i，right_A.size() = m-i。注意：當i = 0時，left_A爲空，當i = m時，right_A爲空。
同樣，在隨機位置將B切成兩部分：
left_B | right_B
B [0]，B [1]，...，B [j-1] | B [j]，B [j + 1]，...，B [n-1]
將left_A和left_B放入一個集合，並將right_A和right_B放入另一個集合。把它們命名爲left_part和right_part：
left_part | right_part
A [0]，A [1]，...，A [i-1] | A [i]，A [i + 1]，...，A [m-1]
B [0]，B [1]，...，B [j-1] | B [j]，B [j + 1]，...，B [n-1]
如果我們可以確保：
1）left_part.size() == right_part.size()
2）max（left_part）<= min（right_part）
那麼我們將{A，B}中的所有元素劃分爲兩個長度相等的部分，一個部分總是大於另一個部分。然後中值=（max（left_part）+ min（right_part））/ 2。
爲了確保這兩個條件，只需要確保：

（1）i + j == m-i + n-j（或：m-i + n-j + 1）
如果n> = m，我們只需要設置：i = 0〜m，j =（m + n + 1）/ 2-i
（2）B [j-1] <= A [i]，A [i-1] <= B [j]
爲什麼一定要n> = m？因爲必須確保j是合法索引，因爲0 <= i <= m和j =（m + n + 1）/ 2-i。如果n <m，則j可以是負數，這將導致錯誤的結果。

在[0，m]中搜索i，找到一個切分點i（j =（m + n + 1）/ 2-i）：
使得B [j-1] <= A [i]和A [i-1] <= B[j]。
我們可以按照以下步驟進行搜索：
<1>設置imin = 0，imax = m，然後開始搜索[imin，imax]
<2>設置i =（imin + imax）/ 2，j =（m + n + 1）/ 2-i
<3>現在left_part.size() == right_part.size()。而且只有3種情況：
(1) B[j-1] <= A [i]和A [i-1] <= B [j]
意味着找到了切分點i，停止搜索。
(2) B[j-1]> A [i]
意味着A [i]太小。必須調整i得到B [j-1] <= A [i]。而i只能增加不能減小，因爲當i減小時j將增加，因此，B [j-1]增加並且A [i]減小，永遠不會滿足。所以必須增加i。也就是說，調整搜索範圍爲[i + 1，imax]。因此，imin = i + 1和然後回到第<2>步。
(3) A [i-1]> B [j]
意味着A [i-1]太大，必須減少i得到A [i-1] <= B [j]。因此，設置imax = i-1然後回到第<2>步。
當找到切分點i時，中值爲：
max（A [i-1]，B [j-1]）（當m + n是奇數時）
或（max（A [i-1]，B [j-1]）+ min（A [i]，B [j]））/ 2（當m + n爲偶數時）

現在考慮邊值i = 0，i = m，j = 0，j = n，即A [i-1]，B [j-1]，A [i]，B [j]有可能不存在的情況。
因爲要確保max（left_part）<= min（right_part）。因此，如果i和j不是邊值（A [i-1]，B [j-1]都存在），我們必須檢驗B [j-1] <= A [i]，A [i-1] <= B [j]。但是如果A [i-1]，B [j-1]，A [i]，B [j]中的一些不存在，則不需要檢查這兩個條件中對應的一個。例如，如果i = 0，則A [i-1]不存在，則不需要檢查A [i-1] <= B [j]。所以，需要做的是：
在[0，m]中搜索i，找到一個切分點i，使得：
（j == 0或i == m或B [j-1] <= A [i]）和
（i == 0或j == n或A [i-1] <= B [j]）
其中j =（m + n + 1）/ 2-i
在搜索循環中，只會有三種情況：
(1)（j == 0或i == m或B [j-1] <= A [i]）和
（i == 0或j = n或A [i-1] <= B [j]）
滿足條件停止搜索。
(2) j> 0和i <m並且B [j-1]> A [i]
i太小，增加i。
(3)i> 0和j <n並且A [i-1]> B [j]
i太大，減少i。
說的比較多，下面是代碼：

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: An integer array.
     * @param B: An integer array.
     * @return: a double whose format is *.5 or *.0
     */
    double findMedianSortedArrays(vector<int> A, vector<int> B) {
        //int minidx = 0, maxidx = m, i, j, num1, mid = (m + n + 1) >> 1,num2;
        if (A.size() > B.size()) return findMedianSortedArrays(B,A);
        int m = A.size(),n = B.size();
        int imin = 0,imax = m,half_len = (m + n + 1) / 2,i,j,max_of_left,min_of_right;
        while (imin <= imax) {
            i = (imin + imax) / 2;
            j = half_len - i;
            if (i < m && j > 0 && B[j - 1] > A[i]) imin = i + 1;
            else if (i > 0 && j < n && B[j] < A[i - 1]) imax = i - 1;
            else {
                if (i == 0) max_of_left = B[j - 1];
                else if (j == 0) max_of_left = A[i - 1];
                else max_of_left = max(A[i - 1],B[j - 1]);
                break;
            }
        }
        if ((m + n) % 2 == 1) return max_of_left;
        if (i == m) min_of_right = B[j];
        else if (j == n) min_of_right = A[i];
        else min_of_right = min(A[i],B[j]);
        return (max_of_left + min_of_right) / 2.0;
    }
};

作者：yzawyx0220
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來源：簡書
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