對稱矩陣（Symmetric Matrices）

如果矩陣滿足，則矩陣P稱爲對稱矩陣，對稱矩陣有很多優秀的屬性，可以說是最重要的矩陣。

1.對稱矩陣的對角化

如果一個矩陣有n個線性無關的特徵向量，則矩陣是可對角化的，矩陣可表示成，相應的。因爲，很有可能A的逆等於A的轉置。同樣的，就可能有，這可發現S中的特徵向量和其他的特徵向量正交，後文會進行證明。

我們把上的S成爲正交矩陣Q，Q滿足，Q中的每一個列向量爲單位特徵向量。每一個對陣矩陣都可以被分解成：

2.對稱矩陣的性質

1.對陣矩陣的特徵值爲實數。

2.對陣矩陣的特徵向量相互正交。

3.譜分解

先看一個例子：

上面例子是矩陣的另一種分解形式，把矩陣A分解成了兩個投影矩陣的線性組合。

下面介紹下什麼是投影矩陣，如果一個方陣滿足，我們矩陣P爲投影矩陣。

現在我們有兩個投影矩陣P1和P2，顯然滿足。

任意給定一個3維列向量b=（x,y,z），通過P1矩陣後得到列向量p1=（0,0,z），可以發現矩陣P把所有的向量都投影到了Z軸上面。

同樣的P2把所有的向量都投影到xy平面上。

這裏補充一個知識，如果想把向量投影到一條直線上，如何得到投影矩陣。給出一個最簡單的方法，如果u是這條直線的單位方向向量，則投影矩陣P=uuT。詳細的投影介紹見wikip。

現在重新回到譜分解，現在考慮n*n的對陣矩陣，肯定存在n和投影矩陣，可以把矩陣A看成n個投影矩陣的線性組合，這個就是譜分解。

4.主元和特徵值的關係

主元和特徵值不同，但是他們又一定的聯繫:

1.對於所有矩陣，主元的乘積=特徵值的乘積=矩陣的行列式

2.對於對稱矩陣，主元和特徵值有相同的符號，即正主元的個數和正特徵值的個數相同，但是非對稱矩陣不滿足，下面是兩個例子。

5.對角性

如果一個矩陣A的特徵值都不相同，它的特徵向量肯定線性無關，則A是可以對角化的。如果一個矩陣存在相同的特徵值，對於非對稱矩陣會導致特徵向量不足，無法對角化；但對於對稱矩陣，即使存在相同的特徵值，矩陣仍然可以對角化。（在這就不做證明了）

6.Reference

《A Introduction to Linear Algebra》   GILBERT STRANG