目錄
1、哈夫曼樹的定義
在許多應用中，樹中結點常常被賦予一個表示某種意義的數值，稱爲該結點的權。從樹的根到任意結點的路徑長度（經過的邊數）與該結點上權值的乘積，稱爲該結點的帶權路徑長度。樹中所有葉結點的帶權路徑長度之和稱爲該樹的帶權路徑長度，記爲
式中，Wi是第i個葉結點所帶的權值，Li是該葉結點到根節點的路徑長度。
在含有n個帶權葉結點的二叉樹中，其中帶權路徑長度（WPL）最小的二叉樹稱爲哈夫曼樹，也稱最優二叉樹。例如，圖36-1中的3棵二叉樹都有4個葉子結點a,b,c,d,分別帶權7,5,2,4，他們帶權路徑長度分別爲
圖36-1 具有不同帶權長度的二叉樹
（a）WPL = 7*2 + 5*2 + 2*2 + 4*2 = 36。
（b）WPL = 4*2 + 7*3 + 5*3 + 2*1 = 46；
（c）WPL = 7× I + 5× 2+2× 3 + 4× 3 = 35。
其中，圖36-1(c)樹的WPL最小。可以驗證，它恰好爲哈夫曼樹。
2、哈夫曼樹的構造
給定n個權值分別爲W1,W2,...，Wn的結點，構造哈夫曼樹的算法描述如下：
1）將這n個結點分別作爲n棵僅含一個結點的二叉樹，構成森林F。
2）構造一個新結點，從F中選取兩棵根節點權值最小的樹作爲新結點的左、右子樹，並且將新結點的權值置爲左、右子樹上根節點的權值之和。
3）從F中刪除剛纔選出的兩棵樹，同時將新得到的樹加入F中。
4）重複步驟2、3，直至F中止剩下一棵樹爲止。
圖36-2 哈夫曼樹的構造過程
從上述構造過程中可以看出哈夫曼樹具有如下特點：
1）每個初始結點最終都成爲葉結點，且權值越小的結點到根節點的路徑越長。
2）構造過程中共新建了n-1個新結點（雙分支結點），因此哈夫曼樹的結點總數爲2n-1。
3）每次構造都選擇2棵樹作爲新結點的孩子，因此哈夫曼樹中不存在度爲1的結點。
3、哈夫曼編碼
在數據通信中，若對每個字符用相等長度的二進制位表示，稱這種編碼方式爲固定長度編碼。若允許對不同字符用不等長的二進制位表示，則這種編碼方式成爲可變長度編碼。可變長度編碼比固定長度編碼要好很多，其特點是對頻率高的字符賦以短編碼，而對頻率較低的字符賦以較長一些的編碼，從而可以使字符的平均編碼長度減短，起到壓縮數據的效果。哈夫曼編碼是一種被廣泛應用而且非常有效的數據壓縮編碼。
若沒有一個編碼是另一個編碼的前綴，則稱這樣的編碼爲前綴編碼。舉例：設計字符A，B和C的對應的編碼0,101,100是前綴編碼。對前綴編碼的解碼很簡單，因爲沒有一個編碼是其他編碼的前綴。所以識別出第一個個編碼，將它翻譯爲原碼，再對餘下的編碼文件重複同樣的解碼操作。例如，碼串00101100可被唯一地翻譯爲0,0,101,100。另舉反例：如果再將字符D的編碼設計爲00，此時0是00的前綴，碼串00101100的前兩位就無法唯一翻譯。
由哈夫曼樹得到哈夫曼編碼是很自然的過程。首先，將每個出現的字符當做一個獨立的結點，其權值爲它出現的頻度（或次數），構造出對應的哈夫曼樹。顯然，所有字符結點都出現在葉結點中。我們可將字符的編碼解釋爲從根至該字符的路徑上邊標記的序列，其中邊標記爲0的表示“轉向左孩子”，標記爲1的表示“轉向右孩子”。圖36-3所示爲一個由哈夫曼樹構造哈夫曼編碼的實例，矩形方塊表示字符及其出現的次數。
這課哈夫曼樹的WPL爲：1*45+3*（13+12+16）+4*（5+9） = 224.
此處的WPL可視爲最終編碼得到二進制編碼的長度，共224位。若採用3位固定長度編碼，則需要300位。
注意：0和1表示左子樹還是右子樹沒有明確規定。左、右孩子結點的順序是任意的，所以構造出的哈夫曼樹並不唯一，但各哈夫曼樹的帶權路徑長度WPL相同且爲最優。