整數劃分的遞歸實現算法，並輸出所有劃分（Java）

先打廣告，所有的算法作業我都會把代碼更新在我的GitHub上
滑技工廠——Homework-AlgorithmAnalysis

希望大家能打個小⭐⭐，謝謝

依舊是算法作業，這次是整數劃分問題。

在網上找了半天，大多都是求整數劃分有多少種，很少求詳細的劃分情況。

有也都是C語言版的，並找不到Java的。

於是我便想出一個Java的（其實差不多，只是如果有人需要Java版的方便搜到）

問題

說明一下問題，什麼是整數劃分？

n=m1+m2+…+mi; （其中mi爲正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,…,mi}爲n的一個劃分。

如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裏我們記n的m劃分的個數爲f(n,m);

舉個例子，當n=6時我們可以獲得以下這幾種劃分：
6=6
6=5+1
6=4+2
6=4+1+1
6=3+3
6=3+2+1
6=3+1+1+1
6=2+2+2
6=2+2+1+1
6=2+1+1+1+1
6=1+1+1+1+1+1

分析

這樣子也非常容易看出來，n的整數劃分是建立在n-1的基礎上的，所以是可以有遞推公式的。

單個參數我們很難找到遞推式，於是我們增加一個參數m，表示一個劃分結果中的最大加數。

根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

1. 當n=1時，不論m的值爲多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

2. 當m=1時，不論n的值爲多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,…,1};

3. 當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分爲兩種情況：

   (a)劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

   (b)劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

4. 當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於q(n,n);

5. 但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分爲兩種情況：

   (a)劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和爲n-m，因此這情況下爲q(n-m,m)

   (b)劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數爲q(n,m-1);

因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

代碼

求整數劃分種數

/*
     * @Title division
     * @Description 整數劃分方法
     * @author 滑技工廠
     * @Date 2020/3/8
     * @param [n, m]   n->要劃分的整數  m->最大加數
     * @return int 輸出有多少種劃分
     * @throws
     */
    public static int division(int n, int m) {
        if (n < 1 || m < 1)
            return 0;
        if (n == 1 || m == 1)
            return 1;
        //最大加數如果大於n 則另最大加數爲n
        if (n < m)
            return division(n, n);
        //m=n，則從
        if (n == m)
            return division(n, m - 1) + 1;

        return division(n, m - 1) + division(n - m, m);

    }

求具體劃分情況

	static int mark[] = new int[100];//記錄分解情況
    static int n;
    /*
     * @Title divide
     * @Description 輸出劃分
     * @author 滑技工廠
     * @Date 2020/3/8
     * @param [now, k, pre]
     * @return void
     * @throws
     */
    public static void divide(int now, int k, int pre) {
        int i;
        //數組長度大於n就返回
        if (now > n) return;

        if (now == n) {

            System.out.printf("%d=", n);
            for (i = 0; i < k - 1; i++) {
                System.out.printf("%d+", mark[i]);
            }
            System.out.printf("%d\n", mark[i]);
        } else {
            for (i = pre; i > 0; i--) {
                if (i <= pre) {
                    mark[k] = i;
                    now += i;
                    divide(now, k + 1, i);
                    now -= i;
                }
            }
        }
    }

以6爲例，得到的結果爲

完結撒花✿，贈人玫瑰。