C語言實現各種排序算法

排序算法

平時用慣了高級語言高級工具高級算法，難免對一些基礎算法感到生疏。但最基礎的排序算法中實則蘊含着相當豐富的優化思維，熟練運用可起到舉一反三之功效。

選擇排序

選擇排序幾乎是最無腦的一種排序算法，通過遍歷一次數組，選出其中最大（小）的值放在新數組的第一位；再從數組中剩下的數裏選出最大（小）的，放到第二位，依次類推。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 從數組第$i$位開始便利，找到最大值，將之與數組第$i$位交換位置。
2. $i$從0循環到$n$。

由於每次遍歷需要計算$O(n)$次，且需要便利$n$次，故時間複雜度爲$O(n^2)$；由於只在交換的過程中需要額外的數據，所以空間複雜度爲$O(n)$。

C語言實現

//sort.c
void SelectionSort(double *p, int n);
int main(){
    double test[5] = {3,2,5,7,9};
    SelectionSort(test,5);
    for (int i = 0; i < 5; i++)
        printf("%f\n", test[i]);
    return 0;
}

//交換數組中i,j處的值
void mySwap(double *arr, int i, int j){
    double temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

//選擇排序
void SelectionSort(double *arr, int n){
    int pMax;
    double temp;
    for (int i = 0; i < n-1; i++){
        pMax = i;
        for (int j = i+1; j < n; j++)
            if (arr[j]>arr[pMax])
                pMax = j;
        mySwap(arr,pMax,i);
    }
}

驗證

>gcc sort.c
>a
9.000000
7.000000
5.000000
3.000000
2.000000

冒泡排序

冒泡排序也是一種無腦的排序方法，通過重複走訪要排序的數組，比較相鄰的兩個元素，如果順序不符合要求則交換兩個數的位置，直到不需要交換爲止。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 比較相鄰的元素$a_i,a_{i+1}$，如果$a_i>a_{i+1}$，則交換二者。
2. 由於每遍歷一次都可以將最大的元素排到最後面，所以下一次可以少便利一個元素。
3. 重複遍歷數組$n$次

由於每次遍歷需要計算$O(n)$次，且需要遍歷$n$次，故時間複雜度爲$O(n^2)$，空間複雜度爲$O(n)$。

C語言實現

//冒泡排序
void BubbleSort(double *arr, int n)
{
    n = n-1;
    double temp;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = 0; j < n-i; j++)
        if (arr[j]>arr[j+1])
            mySwap(arr,i,j);        /*前文定義的函數*/
}

插入排序

插入排序是算法導論中的第一個算法，說明已經不那麼無腦了。其基本思路是將數組劃分位前後兩個部分，前面是有序數組，後面是無序數組。逐個掃描無序數組，將每次掃描的數插入到有序數組中。這樣有序數組會越來越長，無序數組越來越短，直到整個數組都是有序的。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 假設數組中的第0個數已經有序
2. 取出無序數組的第0個元素，將其與有序數組比較，插入到有序數組中。

可見，插入排序的每次插入都有$O(n)$的複雜度，而需要遍歷$n$次，所以時間複雜度仍爲$O(n^2)$。

C語言實現

//插入排序
void InsertionSort(double *arr, int n){
    double temp;
    int j;
    for (int i = 1; i < n; i++){
        j = i-1;
        temp  = arr[i];
        while (temp<arr[j] && j>=0){
            arr[j+1] = arr[j];      //第j個元素後移
            j--;
        }
        arr[j+1] = temp;
    }
}

歸併排序

歸併排序是算法導論中介紹分治概念時提到的一種排序算法，其基本思路爲將數組拆分成子數組，然後令子數組有序，再令數組之間有序，則可以使整個數組有序。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 如果數組元素大於2，則將數組分成左數組和右數組，如果數組等於2，則將數組轉成有序數組
2. 對左數組和右數組執行1操作。
3. 合併左數組和右數組。

可以發現，對於長度爲$n$的數組，需要$\log_2n$次的拆分，每個拆分層級都有$O(n)$的時間複雜度和$O(n)$的空間複雜度，所以其時間複雜度和空間複雜度分別爲$O(n\log_2n)和O(n)$

C語言實現

首先考慮兩個有序數組的合併問題

//sort.c

void myMerge(double *arr, int nL, int nR);
int main(){
    int n = 6;
    double arr[6] = {2,4,5,1,3,7};
    Merge(arr,3,3);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%f\n", arr[i]);
    return 0;
}

//兩個有序數組的混合,arr爲輸入數組
//nL、nR分別爲左數組和右數組的長度
void Merge(double *arr, int nL, int nR){
    nL = nL-1;                    //左側最後一個元素的索引
    int sInsert = 0;               //左側待插入起始值
    double temp;
    for (int i = 1; i <= nR; i++)
    {
        while (arr[nL+i]>arr[sInsert])
            sInsert++;
        if (sInsert<nL+i){
            temp = arr[nL+i];
            for (int j = nL+i; j > sInsert; j--)
                arr[j]=arr[j-1];
            arr[sInsert] = temp; 
        }
        else
            break;    //如果sInsert==nL+i，說明右側序列無需插入
    }
}

驗證

> gcc sort.c
> a
1.000000
2.000000
3.000000
4.000000
5.000000
7.000000

然後考慮歸併排序的遞歸過程

void MergeSort(double *arr, int n);
void myMerge(double *arr, int nL, int nR);

int main(){
    int n = 6;
    double arr[6] = {5,2,4,7,1,3};
    MergeSort(arr,n);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%f\n", arr[i]);
    return 0;
}

void MergeSort(double *arr, int n){
    if (n>2)
    {
        int nL = n/2;
        int nR = n-nL;
        MergeSort(arr,nL);
        MergeSort(arr+nL,nR);
        Merge(arr,nL,nR);
    }
    else if(n==2)
        Merge(arr,1,1);
    //當n==1時說明數組中只剩下一個元素，所以什麼也不用做
}

驗證

> gcc sort.c
> a
1.000000
2.000000
3.000000
4.000000
5.000000
7.000000

至此，排序算法終於有一點算法的味道了。

希爾排序

據說是第一個突破$O(n^2)$的排序算法，又稱爲縮小增量排序，本質上也是一種分治方案。

在歸併排序中，先將長度爲n的數組劃分爲長度爲nL和nR的兩個數組，然後繼續劃分，直到每個數組的長度不大於2，再對每個不大於2的數組進行排序。這樣，每個子數組內部有序而整體無序，然後將有序的數組進行回溯重組，直到重新變成長度爲n的數組爲止。

希爾排序的劃分策略則不然，這裏在將數組劃分爲nL和nR之後，對nR和nR進行按位排序，使得nL和nR內部無序，但整體有序。然後再將數組進行細分，當數組長度變成1的時候，內部也就談不上無序了，而所有長度爲1的數組整體有序，也就是說有這些子數組所組成的數組是有序的。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 如果數組元素大於2，則將數組分成左數組和右數組，並對左數組和右數組的元素進行一對一地排序。
2. 對每一個數組進行細分，然後將每個子數組進行一對一地排序。

C語言實現

//希爾排序
void ShellSort(double *arr, int n){
    double temp;
    int j;
    for (int nSub = n/2; nSub >0; nSub/=2)      //nSub爲子數組長度
        for (int i = nSub; i < n; i++)
        {
            temp = arr[i];
            for (j = i-nSub; j >= 0&& temp<arr[j]; j -= nSub)
                arr[j+nSub] = arr[j];
            arr[j+nSub] = temp;
        }
}

快速排序

快速排序的分治策略與希爾排序類似，其核心思想都是從組內無序而組間有序出發，當子數組長度縮減至1的時候，則整個數組便是有序的。

$\textbf{算法步驟}$

設數組有$n$個元素，$\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}$

1. 在數組中隨機選出一個基準$a_{mid}$
2. 通過$a_{mid}$將數組分成兩部分，其中左邊小於$a_{mid}$，右邊大於$a_{mid}$。
3. 對左右子數組重複1、2操作，直到子數組長度爲1。

由於快速排序的過程中有一個隨機選擇，所以其時間複雜度可能會受到這個隨機選擇的影響，如果運氣不好的話，快速排序可能會變成冒泡排序。當然，一般來說運氣不會那麼差，快速排序的平均時間複雜度爲$O(n\log_2n)$。

C語言實現

//快速排序
void QuickSort(double *arr, int n){
    double pivot = arr[0];      //選取第0個點爲基準
    int i = 1;
    int j = n-1;
    while (i<j){
        if (arr[i]<pivot)
            i++;
        else{
            mySwap(arr,i,j);
            j--;
        }
    }
    if (arr[i]>pivot)
        i--;
    mySwap(arr,i,0);
    if (i>1)
        QuickSort(arr,i);    //對i前的數組進行快排
    
    i++;
    if (i<n-1)
        QuickSort(arr+i,n-i);//對i+1後的數組進行快排
}

堆排序

堆是算法導論中介紹的第一種數據結構，本質是一種二叉樹，最大堆要求子節點的值不大於父節點，最小堆反之。由於堆是一種帶有節點的數據結構，所以結構表示更加直觀。好在二叉樹父子節點的序號之間存在簡單的遞推關係，所以在C語言中可以用數組表示堆，

根據上圖可知，若父節點的序號爲$n$，則左子節點序號爲$2n+1$,右子節點序號爲$2n+2$。

可以將上圖理解爲一個排好序的最小堆，如果1位變成15，那麼此時這個節點將違反最小堆的原則，經過比對，應該調換15和3的位置。調換之後，15仍然比7和8大，則再調換15和7的位置，則這個最小堆變爲

從而繼續滿足最小堆的性質，最大堆亦然，其C語言實現爲

//如果堆中節點號爲m的點不滿足要求，則調整這個點
//此爲最大堆
void adjustHeap(double *arr, int m, int n){
    int left = m*2+1;       //左節點

    while (left<n)
    {
        if (left+1<n)       //判斷右節點
            if (arr[left]<arr[left+1])
                left++;     //當右節點大於左節點時，left表示右節點
        
        if (arr[m]>arr[left])
            break;          //如果父節點大於子節點，則說明覆合最大堆
        else{
            mySwap(arr,m,left);
            m = left;
            left = m*2+1;
        }
    }
}

堆的調整過程就是父節點與其左右兩個子節點比較的過程，也就是說通過這種方式得到的堆能夠滿足父子節點的大小關係，但兩個孫節點之間並不會被排序。但是，如果一個數組已經滿足最大堆要求，那麼只需讓所有的節點都在根節點處重新參與排序，那麼最終得到的最大堆一定滿足任意節點間的有序關係。

//堆排序
void HeapSort(double *arr, int n){
    for (int i = n/2; i >= 0; i--)
        adjustHeap(arr,i,n);        //初始化堆
    for (int i = n-1; i > 0 ; i--){
        mySwap(arr,0,i);            //將待排序元素放到最頂端
        adjustHeap(arr,0,i);        //調整最頂端的值 
    }   
}

計數排序

此前所有的排序算法均沒有考慮到數組的內在分佈，如果我們輸入的數據爲某個區間內的整數，那麼我們只需建立這個區間內的整數索引，然後將每個數歸類到這個索引之中即可。

這便是桶排序的思路，所謂桶排序即通過將已知數據劃分爲有序的幾個部分，放入不同的桶中，這個分部過程即桶排序。除了計數排序，基數排序是一種更廣泛的桶排序形式，其劃分方式可以爲數據的位數，把這個桶定義爲數據最高位的值。

例如，我們有一組均勻分佈在$[0,100]$之內的數據，所謂基數排序，即先劃分出十個不同的桶$[0,10),[10,20),\ldots,[90,100)$，然後再對每個桶進行單獨的排序。這樣劃分下去，那麼基數排序的複雜度則爲$O(10*n)$。

詞典中的排序方式也可以理解爲一種基數排序，即首先看第一個字母的順序，然後第二個，依次類推。由於桶排序對數據做了假設，所以其最優時間複雜度可以達到$O(n+k),k$爲桶的數目。

例如，我們有一個由一百個由1和2組成的數組，那麼我們只需建立一個索引${1:n_1,2:n_2}$，然後統計1和2分別出現的個數即可，其時間複雜度也將變成$O(n)$。

在這裏只做出最簡單的計數排序。

/計數排序,輸入數組爲整數
void CountingSort(int *arr,int n){
    int aMax = arr[0];
    int aMin = arr[0];
    for (int i = 0; i < n; i++) //查找最大值和最小值
        if (arr[i]>aMax)
            aMax = arr[i];
        else if (arr[i]<aMin)
            aMin = arr[i];
    
    int m = aMax-aMin+1;         //索引長度
    int *arrSort = (int*)malloc(sizeof(int)*m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
        arrSort[i]=0;           //初始化索引
    
    for (int i = 0; i < n; i++) //排序
        arrSort[arr[i]-aMin] += 1;
    
    n = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        aMax = i+aMin;          //此值爲真實數據
        for (int j = n; j < n+arrSort[i]; j++)
            arrSort[j] = i+aMin;
        n += arrSort[i];
    }
}