離散數學——命題邏輯

本篇涉及內容：

• 命題的基本概念
• 命題聯結詞
• 真值表
• 命題公式
• 範式和主範式
• 命題推理理論
• 聯結詞的完備集

命題的基本概念

1. 什麼是命題？
   具有確切真值的陳述句稱爲命題.

2. 哪些句子不是命題？
   祈使句、感嘆句、疑問句、無法判斷真假的陳述句都不是命題.

   如：“這句話是假的”，這個句子是陳述句但無法判斷真假，所以不是命題.

3. 判斷一個句子是否是命題的要點

   1 ) 先判斷其是否爲陳述句
   2 ) 再判斷其是否能夠判斷真假

   注意：對於一個陳述句，有時我們可能不知道其真假，但是這個句子本身是有真假的. 如：“火星上有生命”，“1 + 1= 10”.

4. 命題的分類

   1 ) 簡單(原子)命題
   2 ) 複合命題：多個簡單命題加上關聯詞的複合

   如：“小迪是大學生或運動員”，這是個複合命題，由"小迪是大學生"，“小迪是運動員”，這兩個簡單命題和關聯詞"或"複合而成.

命題聯結詞

1. 否定聯結詞 ¬

2. 合取聯結詞 $p∧q$ (一假即假)：
   1 ) p並且q
   2 ) 既p又q
   3 ) p但q
   4 ) 雖然p但是q

3. 析取聯結詞 $p∨q$ (一真即真)：
   1 ) p或者q

   注意：這裏的"或"是"可兼或"，其聯結的兩個原子命題可以同時爲真
   關於"異或"：“張紅生於1982年或1983年”，$(p∧¬q)∨(¬p∧q)$

4. 蘊含聯結詞 $p→q$ (前1後0爲假其餘爲真)：
   1 ) 若p則q
   2 ) 只要p就q
   3 ) 因爲p所以q
   4 ) p僅當q
   5 ) 僅q才p
   5 ) 只有q才p
   6 ) 除非q才p
   7 ) 除非q否則¬p

   包含"才"和"除非"的關聯詞p與q要顛倒

5. 等價聯結詞 $p↔q$ (p和q真值相同時爲真否則爲假)
   1 ) p當且僅當q
   2 ) p的充要條件是q

真值表

1. 作用：可以根據一個命題公式中命題變元的不同取值來判斷這個命題公式真值.

2. 要點：第一行的前三列寫命題公式的變元，後面的根據聯結詞拆分詳細一點.

命題公式

1. 命題公式的分類
   1 ) 重言式/永真式：真值恆爲1的命題公式.
   2 ) 矛盾式/永假式：真值恆爲0的命題公式.
   3 ) 非重言式的可滿足式：命題變元的不同取值，讓命題公式有真值爲1也有真值爲0的情況.

2. 命題公式的等值式

   1 ) $¬ (A ᥈ B) ⟺ ¬ A ᥎ ¬ B$
   2 ) $A ᥎ (A ᥈ B) ⟺ A$，$A ᥈ (A ᥎ B) ⟺ A$
   3 ) $A → B ⟺ ¬ A ᥎ B$
   4 ) $A → B ⟺ ¬ B → ¬ B$
   5 ) $A ↔︎ B ⟺ (A → B)᥈ (B → A)$
   6 ) $A ↔︎ B ⟺ ¬ A ↔︎ ¬ B$

注意區分："$⟷$" 和 “$⟺$”
"$⟷$"表示命題公式的等價聯結詞計算
"$⟺$"表示命題公式之間的等價關係
定理：G ⟺ H 的充要條件爲 G ↔︎ H 是永真式

範式

1. 文字：命題變元或命題變元的否定.
2. 簡單析取式：有限個文字的析取.
3. 簡單合取式：有限個文字的合取.
4. 析取範式：有限個簡單合取式的析取.
5. 合取範式：有限個簡單析取式的合取.

注意：在範式中，僅含聯結詞 {¬ ,᥎ ,᥈} .

求一個命題公式的析取(合取)範式的步驟：

1. 將公式中的{→ ,↔︎ }聯結詞利用命題公式的等值式化成{¬ ,᥈ ,᥎ }
2. 將否定聯結詞 ¬ 移動到各個命題變元的前端
3. 巧用命題公式的等值式中的分配律化成(一些合取式的析取)或(一些析取式的合取)

如：
合取範式：$(¬ P ᥎ Q)᥈ (P ᥎ ¬ R)$
析取範式：$¬ P ᥎ (¬ Q ᥈ R)$

主範式

見筆記，等考完再來

命題推理理論

聯結詞的完備集