轉自http://blog.csdn.net/huagong_adu/article/details/7937616
主題模型有兩種：pLSA（ProbabilisticLatent Semantic Analysis）和LDA（Latent Dirichlet Allocation），下面主要介紹LDA。
（二）LDA介紹
如何生成M份包含N個單詞的文檔，LatentDirichlet Allocation這篇文章介紹了3方法：
方法一：unigram model
該模型使用下面方法生成1個文檔：
For each ofthe N words w_n:
Choose a word w_n ～ p(w);
其中N表示要生成的文檔的單詞的個數，w_n表示生成的第n個單詞w，p(w)表示單詞w的分佈，可以通過語料進行統計學習得到，比如給一本書，統計各個單詞在書中出現的概率。
這種方法通過訓練語料獲得一個單詞的概率分佈函數，然後根據這個概率分佈函數每次生成一個單詞，使用這個方法M次生成M個文檔。其圖模型如下圖所示：
方法二：Mixture of unigram
unigram模型的方法的缺點就是生成的文本沒有主題，過於簡單，mixture of unigram方法對其進行了改進，該模型使用下面方法生成1個文檔：
Choose a topicz ～ p(z);
For each ofthe N words w_n:
Choose a word w_n ～ p(w|z);
其中z表示一個主題，p(z)表示主題的概率分佈，z通過p(z)按概率產生；N和w_n同上；p(w|z)表示給定z時w的分佈，可以看成一個k×V的矩陣，k爲主題的個數，V爲單詞的個數，每行表示這個主題對應的單詞的概率分佈，即主題z所包含的各個單詞的概率，通過這個概率分佈按一定概率生成每個單詞。
這種方法首先選選定一個主題z，主題z對應一個單詞的概率分佈p(w|z)，每次按這個分佈生成一個單詞，使用M次這個方法生成M份不同的文檔。其圖模型如下圖所示：
從上圖可以看出，z在w所在的長方形外面，表示z生成一份N個單詞的文檔時主題z只生成一次，即只允許一個文檔只有一個主題，這不太符合常規情況，通常一個文檔可能包含多個主題。
方法三：LDA(Latent Dirichlet Allocation)
LDA方法使生成的文檔可以包含多個主題，該模型使用下面方法生成1個文檔：
Chooseparameter θ ～ p(θ);
For each ofthe N words w_n:
Choose a topic z_n ～ p(z|θ);
Choose a word w_n ～ p(w|z);
其中θ是一個主題向量，向量的每一列表示每個主題在文檔出現的概率，該向量爲非負歸一化向量；p(θ)是θ的分佈，具體爲Dirichlet分佈，即分佈的分佈；N和w_n同上；z_n表示選擇的主題，p(z|θ)表示給定θ時主題z的概率分佈，具體爲θ的值，即p(z=i|θ)= θ_i；p(w|z)同上。
這種方法首先選定一個主題向量θ，確定每個主題被選擇的概率。然後在生成每個單詞的時候，從主題分佈向量θ中選擇一個主題z，按主題z的單詞概率分佈生成一個單詞。其圖模型如下圖所示：
從上圖可知LDA的聯合概率爲：
把上面的式子對應到圖上，可以大致按下圖理解：
從上圖可以看出，LDA的三個表示層被三種顏色表示出來：
1. corpus-level（紅色）：α和β表示語料級別的參數，也就是每個文檔都一樣，因此生成過程只採樣一次。
2.document-level（橙色）：θ是文檔級別的變量，每個文檔對應一個θ，也就是每個文檔產生各個主題z的概率是不同的，所有生成每個文檔採樣一次θ。
3. word-level（綠色）：z和w都是單詞級別變量，z由θ生成，w由z和β共同生成，一個 單詞w對應一個主題z。
通過上面對LDA生成模型的討論，可以知道LDA模型主要是從給定的輸入語料中學習訓練兩個控制參數α和β，學習出了這兩個控制參數就確定了模型，便可以用來生成文檔。其中α和β分別對應以下各個信息：
α：分佈p(θ)需要一個向量參數，即Dirichlet分佈的參數，用於生成一個主題θ向量；
β：各個主題對應的單詞概率分佈矩陣p(w|z)。
把w當做觀察變量，θ和z當做隱藏變量，就可以通過EM算法學習出α和β，求解過程中遇到後驗概率p(θ,z|w)無法直接求解，需要找一個似然函數下界來近似求解，原文使用基於分解（factorization）假設的變分法（varialtional inference）進行計算，用到了EM算法。每次E-step輸入α和β，計算似然函數，M-step最大化這個似然函數，算出α和β，不斷迭代直到收斂。