論文閱讀-AKS_CoRR_2011

作者	年份	近似比
Hoogeveen	1991	$\frac{5}{3}$
An, Kleinberg, Shmoys	2012	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Sebo	2013	$\frac{8}{5}$
Rico Zenklusen	2019	1.5

Title: Improving Christofides’s Algorithm for the s-t path TSP

Alpha: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Theorem1: Hoogeveen算法的解不超過$\frac{5}{3}OPT_{LP}$

定義1: Path-TSP的HK鬆弛

$min \sum_{e\in E} c_ex_e\\ \begin{aligned} & s.t.\\ & x(\delta(v))=\begin{cases} 1, & v=s,t\\ 2, & v\neq s,t \end{cases}\\ & x(\delta(S)) \geq \begin{cases} 1, & |S \cap \{s,t\}|=1,\\ 2, & |S \cap \{s,t\}|\neq 1,\\ \end{cases}\\ & 0 \leq x_e \leq 1, \forall e \in E \end{aligned}$

其中$\delta(S)$是僅有一個端點落在S中的邊的邊集, 同時$X(E')=\sum_{e \in E'} x_e$, 所謂的鬆弛就是最後一個0-1向量變成了實數.

定義2: 生成樹凸集

生成樹凸集由下面的不等式定義:
$\begin{aligned} & x(E)=|V|-1,\\ & x(E(S)) \leq |S|-1, \quad \forall |S| \subseteq V, |S| \geq 2,\\ & x_e \geq 0, \quad \forall e \in E \end{aligned}$

其中E(S)是所有兩個端點都在S中的邊的邊集.

Lemma1: LP-relaxation的任意可行解x都在生成樹凸集中.

proof: LP-relaxation的約束滿足生成樹凸集的定義
$X(E) \equiv \sum_{e\in E} x_e = \frac{1}{2}\sum_{v\in V}x(\delta(v))\\ = \frac{1}{2}(|v|-2)\cdot 2 + 2)=|v|-1$
同時,
$X(E(S))=\frac{1}{2}(\sum_{v \in S}x(\delta(v))-x(\delta(S)))$
如果$|S\cap \{s,t\}=1$, 有$X(E(S))\leq \frac{1}{2}(1+2(|S|-1)-1)=|S|-1$,

如果$|S\cap \{s,t\}=\empty$, S-1,

如果$|S\cap \{s,t\}=2$,S-2

定義3: 奇數集S, 如果$|S\cap T|$含有奇數個, 則S是個奇數集

Lemma2: S是一個奇數集, 如果$|S\cap \{s,t\}|=1$, 則$|F\cap \delta(S)|$爲偶數, 如果$|S\cap \{s,t\}|\neq1$, 則$|F\cap \delta(S)|$爲奇數.

例如,

Proof: s,t 如果在S中, 它們有偶數度, 其他點有奇數度.

定義$\sum_{v\in S}deg_F(v)=2|E(S)\cap F|+|\delta(S)\cap F|$

證明如下:

1.如果$|S\cap \{s,t\}=1$, 假設$s\in S$, $s\in T$當且僅當$deg_F(s)$even.

則$S_{odd}\rightarrow even$ # 個奇數度的節點在S中($|S\cap T| odd$)

$\sum_{v\in S}deg_F(v)-2|E(s)\cap F|=|\delta(s)\cap F|$
第一個子式爲偶數度, 第二個子式肯定是偶數, 則右邊也是偶數.



2. 如果$|S\cap \{s,t\}\neq 1$,

則$S_{odd}\rightarrow odd$ # 個奇數度的節點在S中

$\sum_{v\in S}deg_F(v)-2|E(s)\cap F|=|\delta(s)\cap F|$
第一個子式爲奇數度, 第二個子式肯定是偶數, 則右邊也是奇數.

定義4: T-join LP

以下線性規劃的解是一個最小成本的T-join, 對於cost $c\geq 0$:
$Min \sum_{e\in E}c_ex_e\\ \begin{aligned} & s.t.\\ & x(\delta(S)) \geq 1, & \forall S \subseteq V, |S\cap T| odd\\ & x_e \geq 0, & \forall e \in E \end{aligned}$
對於$|S\cap T|$爲奇,
$\sum_{v\in S}deg_J(v)=2|E(S)\cap J|+|\delta(S)\cap J|$
因爲奇數個奇數度的節點，因此等式左邊爲奇，因爲右邊第一個子式爲偶，所以第二個子式爲奇數.說明S向外連接的節點一定大於等於1.

proof of Theorem1

Step1

令$x^*$爲LP鬆弛的最優解OPT. $\text{cost of MST}\leq \sum_{e\in E}c_ex_e^* \equiv > OPT_{LP}$, 因爲$x^*$總是生成樹凸集的可行解.

令$X_F\in \{0,1\}^{|E|}$,並且
$X_F(e)= \begin{cases} 1, \quad if e\in F \\ 0, \quad o.w. \end{cases}$

claim: $y=\frac{1}{3}X_F+\frac{1}{3}x^*$是T-join LP的一個可行解.

則有$c(F\cup T)=c(F)+c(T) \leq OPT_{LP}+\frac{1}{3}c(F)+\frac{1}{3}OPT_{LP} > \leq \frac{5}{3}OPT_{LP}$

Step2

若要claim成立,需要證明如果$|s\cap T|$爲奇,則$y(\delta(S)) \geq 1$

如果 $|s\cap \{s,t\}|\neq 1$則$y(\delta(S)) =\frac{1}{3}|F\cup \delta(S)|+\frac{1}{3}x^*(\delta(S)) \geq \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1$

【第二個部分,因爲HK relaxation成立】

如果$|s\cap \{s,t\}|= 1$, 則$y(\delta(S)) =\frac{1}{3}|F\cup \delta(S)|+\frac{1}{3}x^*(\delta(S)) \geq \frac{2}{3}+\frac{1}{3} = 1$

【第一個式子 lemma2】

claim 證畢.

定義5： 凸組合

令$x^*$爲LP的最優解, 令$x^F$表示爲一個F的邊集, 即
$x_F(e)=\begin{cases} 1 \quad e \in F \\ 0 \quad e \notin F \end{cases}$

因爲$x^*$在生成樹凸集中,因此$x^*$可以寫成生成樹$F_1,\cdots,F_k$的凸組合:
$x^*=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_{F_i}$
其中$\sum_{i=1}^k\lambda_i = 1, \lambda_i \geq 0$.

對於$F_i$, 設$T_i$是其T集,$J_i$是其最小成本T-join. 它們的和能夠構成一個解稱爲best-of-many Christofide算法的解.

Theorem2: best-of-many Christofide算法的解, 同樣滿足上限爲$\frac{5}{3}OPT_{LP}$.

下一步: 是否能夠更優?

考慮$y_i=\alpha X_F+\beta x^*$, 如果是$T_i$-Join LP的可行解, 則best s-t 哈密頓路徑的長度最多不超過$(1+\alpha+\beta)OPT_{LP}$.

$y_i$是$T_i$-Join LP的可行解分兩種情況考慮,設S 奇數集($|S\cup T_i| odd$)

如果$|s\cap \{s,t\}|\neq 1$,

$y(\delta(S)) =\alpha|F\cup \delta(S)|+\beta x^*(\delta(S)) \geq \alpha+2\beta$

[右邊第一個式大於等於1, 第二個式大於等於2, 同上]

我們希望$\alpha+2\beta \geq 1$, 則$T_i$-join LP約束就能夠滿足.

如果
$|s\cap \{s,t\}|= 1$, 則
$y_i(\delta(S)) =\alpha |F\cup \delta(S)|+\beta x^*(\delta(S)) \geq 2\alpha+\beta x^*(\delta(S))$

注意到我們已經假設了$\alpha+2\beta \geq 1$成立, 只有$2\alpha+\beta x^*(\delta(S)) < 1$時, 存在問題.

注意到當$\alpha=0, \beta=\frac{1}{2}$時, 如果$x^*(\delta(S)) \geq 2$, 上式成立, 並且能夠控制上限爲$\frac{3}{2}OPT_{LP}$.

因此接下來只需要關注$x^*(\delta(S)) < 2$的cuts, 並且對$y_i$增加一個額外的修正來處理這些誒cuts.

定義6 $\tau$-Narrow cut

若$x^*(\delta(S)) < 1+\tau, \text{for fixed }\tau \leq 1$, S則是$\tau$-Narrow.

只有$|S\cup \{s, t\} =1$能夠是$\tau$-Narrow.

定義7 $\tau$-Narrow cuts

$C_{\tau}$是$s \in S$的所有$\tau$-Narrow cuts S的全集.

$C_{\tau}$的性質:

Theorem3: 如果$S_1, S_2 \in C_{\tau}, S_1\neq S_2$, 要麼$S_1 \subset S_2$,或$S_2 \subset S1$.

爲證明上述Theorem, 首先有
$x^*(\delta(S_1)) + x^*(\delta(S_2)) \geq x^*(\delta(S_1 - S_2)) + x^*(\delta(S_2-S_1))$

Theorem proof:

假設,相反的, $S_1-S_2\neq \empty, S_2-S_1 \neq \empty$.
$\begin{aligned} (1 + \tau)+(1+\tau) & > x^*(\delta(S_1))+x^*(\delta(S_2)) \\ & \geq x^*(\delta(S_1-S_2)) + x^*(\delta(S_2-S_1)) \\ & \geq 2 + 2 \end{aligned}$
與定義矛盾.

根據Theorem, $\tau$-Narrow cuts的結構如下:

新的修正因子

令$e_Q$表示$\delta(Q)$的最小cost的邊,考慮下式
$y_i(\delta(S)) =\alpha x_{F_i}+\beta x^* + \sum_{Q \in C_{\tau},|Q\cap T_i|}(1-2\alpha - \beta x^*(\delta(Q)))x_{e_Q}$
對於$\alpha,\beta, \tau \geq 0$,有$\alpha + 2\beta=1$並且$\tau = \frac{1-2\alpha}{\beta} - 1$

Theorem: $y_i$是一個$T_i$-Join LP的可行解.

proof:

對於S odd ($|S\cap T_i| odd$)

如果$|S\cap \{s,t\}|\neq 1$
$y_i(\delta(S)) \geq \alpha + 2 \beta =1$
如果$|S\cap \{s,t\}|= 1$

如果 S不是$\tau$-narrow
$y_i(\delta(S)) \geq 2\alpha + \beta(1+\tau) =1$

如果 S是$\tau$-narrow
$y_i(\delta(S)) \geq \alpha |F_i\cap \delta(S)| + \beta x^*(\delta(\delta(S))) + (1-2\alpha - \beta x^*(\delta(S))) =1$

注意到$x^*=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_{F_i}$,$\sum_{i=1}^k\lambda_i = 1, \lambda_i \geq 0$,$\lambda_i$可以看成$F_i$的概率分佈, 是其概率. 緊接着, 有以下兩個lemma.

Lemma:

令F爲隨機採樣的生成樹$F_i$, T爲對應的點集$T_i$, $Q\in C_{\tau}$是一個$\tau$-narrow cut.
$Pr[|\delta(Q)\cap F|=1] \geq 2 - x^*(\delta(Q)) \\ Pr[|Q\cap T| odd] \leq x^*(\delta(Q)) - 1$

proof:

$x^*(\delta(Q)) = E[|F \cap \delta(Q)|] \geq Pr[|F \cap \delta(Q)|=1] + 2Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2]$
並且$Pr[|F \cap \delta(Q)|=1] + Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2]=1$, 因此,
$Pr[|F\cap \delta(Q)|=1] \geq 2 - x^*(\delta(Q))\\ Pr[|F\cap \delta(Q)| \geq 2] \leq x^*(\delta(Q)) -1$
因爲, $|Q\cap T_i| odd$有$|F_i \cap \delta(Q)| \geq 2$,

所以$Pr[|Q\cap T_i| odd]\leq Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2] \leq x^*(\delta(Q))-1$

Lemma:

$\sum_{Q \in C_{\tau}}C_{e_Q} \leq \sum_{e \in E} c_ex_e^*$

Proof:
$\sum_{Q \in C_{\tau}}C_{e_Q} \leq \text{cost MST} \leq \sum_{e \in E} c_ex_e^*$
構造過程, 對於$Q\in C_{\tau}$, 將一條MST的邊e映射到Q, 每次移除一個e, 然後構造s和v.

Theorem: Best-of-Many Christofides算法是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$算法.

Proof:

$\begin{aligned} & \text{Best s-t Path} \leq \sum_i \lambda_i c(F_i \cup J_i)\\ & = \sum_i \lambda_i[c(F_i) + \alpha c(F_i) + \beta\sum_{e\in E} c_e x_e^* + \sum_{Q \in C_{\tau},|Q\cap T_i|}(1-2\alpha - \beta x^*(\delta(Q)))c_{e_Q}]\\ & \leq (1+\alpha + \beta) \sum_{e\in E} c_e x_e^* + \sum_{Q\in C_{\tau}}(x^*(\delta(Q))-1)(1-2\alpha -\beta x^*(\delta(Q)))c_{e_Q}\\ & \leq (1+\alpha + \beta) \sum_{e\in E} c_e x_e^* + max_{0 \leq z < \tau}E(1-2\alpha + \beta(1+z))\sum_{Q\in C_{\tau}}c_{e_Q}\\ & \leq (1+\alpha + \beta + max_{0 \leq z < \tau}E(1-2\alpha + \beta(1+z)))\sum_{e\in E} c_e x_e^*\\ & = (1+\alpha + \beta + max_{0 \leq z < \tau}E(\beta \tau - \beta z))\sum_{e\in E} c_e x_e^* [Maximized at z=\tau/2]\\ & \leq (1+\alpha + \beta + \beta (\frac{\tau}{2})^2)OPT_{LP}\\ & \leq (2 - \beta + \frac{(3\beta -1)^2}{4\beta})OPT_{LP} \end{aligned}$

證畢.

前後四篇工作的算法分析總體思路是一致的,都和wolsey分析的過程是相似, 以最後1.5的爲例,

找到一個生成樹F和一個滿足HK relaxation的點z, 證明:

1. $l(F) \leq OPT$,
2. $l(z) \leq OPT$,
3. $z/2 \in P_{Q_{T-join}}$, 其中Q_T := odd(T)$\bigtriangleup${s,t}

T和一個T-join構成解,並且$l(F)+l(J) \leq l(T) + l(z)/2 \leq 3/2 OPT$

而之前的工作主要是弱化了第二條的要求,使得$l(z) \leq (1+c) OPT$.