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1. 有100個真幣和1個假幣，只知道真幣與假幣不等重，要求只稱兩次，得出是真幣重還是假幣重。（天平有兩種，一種是直接稱重量，一種是無砝碼天平）
解答：任取100個分成50 50.第一次稱，若等重，則另一個是假幣，第二次再稱下就可以了。
若第一次稱不等重，記下較重的一方。然後再平分兩堆，再稱，若等重。說明假幣在另一堆，且較輕。若不等重，則假幣較重。
2. 如何把一個正方形按面積5等份？
解答：每個頂點連接順時針的第二條邊的中點，得到四個直角形，和一間一個正方形，5部分面積相等。
3. 警察、爸爸兒子、媽媽女兒該如何過河？
一個警察、一個小偷、一個爸爸、一個媽媽、兩個女兒、兩個兒子，共八個人要過河，只有一條船。有幾個條件必須滿足：
1）船一次最多隻能坐兩個人
2）小偷必須和警察在一起，否則小偷會偷東西
3）爸爸必須和兒子在一起，否則媽媽會打兒子
4）媽媽必須和兒子在一起，否則爸爸會打女兒
5）只有警察、爸爸、媽媽會划船。
解答：不斷嘗試，不斷回溯的方法就可以解答了。
警察和小偷過去，警察回來。
警察和兒子過去，警察和小偷回來。
爸爸和兒子過去，爸爸回來。
爸爸和媽媽過去，媽媽回來。
警察和小偷過去，爸爸回來。
爸爸和媽媽過去，媽媽回來。
媽媽和女兒過來，警察和小偷回來。
警察和女兒過去，警察回來。
警察和小偷過去。
4. n是一個奇數，求證n（n^2-1）能被24整除。
解答：n=2k+1，代入式子進行替換，結果爲（2k-1）（2k）（2k+1），三個連續的數，肯定有是3的倍數，所有能被3整除。然後4k(k+1)肯定能被8整除。證畢。
5. （開關和燈泡問題）在房裏有三盞燈，房外有三個開關，在房外看不見房內的情況，你只能進門一次，用什麼方法來區分哪一開關控制哪一盞燈？
解答：這個問題可以理解成編碼的問題。燈泡的狀態作爲編碼空間，進屋的次數作爲編碼的位數。設三個開關是1、2、3.打開開關1等半小時，關上開關1，並打開開關2.開房後摸燈泡，熱的是1，亮的是2，剩下的是3.
6. 媽媽有2000元，要分給她的2個孩子。由哥哥先提出分錢的方式，如果弟弟同意，那麼就這麼分。但如果弟弟不同意，媽媽會沒收1000，由弟弟提出剩下1000的分配方式，這時如果哥哥同意了，就分掉這剩下的1000元。若哥哥也不同意，媽媽會沒收1000元，然後每人給他們100元。如果，你是哥哥，你會提出什麼樣的分錢方式，使你有可能得到最多的錢？
解答：哥哥提出分配方案時，弟弟是否同意取決於拒絕後是否可以獲得更多的利益。弟弟分配時，哥哥是否同意也取決於拒絕後是否可以獲得更多好處。所以採取從後向前推導的方法。
如果兩個分配中都不同意，則各獲得100元。
弟弟分錢時，爲保證哥哥能同意，會提出101元，弟弟899元。
哥哥分錢時，會提出899+1=900元，自己1100元的分配方式。
7. 一個小猴子邊上有100根香蕉，它要走過50米才能到家，每次最多搬50根香蕉，每走1米要喫掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家裏。
解答：小猴子可以採用如下策略：小猴子先搬50根，走到1米處，路上喫掉1根，放下48根後返回起始點，並在返回路上喫剩下的1根。然後將起始點處的50根香蕉搬到1米處，又在路上喫掉1根。這樣總共消耗了3根香蕉，將所有香蕉向前搬動了1米。採用類似的策略搬動16米後，總共消耗了48根香蕉，還剩下52根香蕉。如果繼續按照同樣的策略向前移動到17米處，則剩下49根香蕉；如果直接在16米處丟掉2根香蕉，搬着50根香蕉向前走，在17米處也是有49根香蕉。所以猴子在17米處最多可以保留49根香蕉。繼續搬到家還有33米，所以最後剩的香蕉數16根。
8. 在一個平面上畫1999條直線，最多能將一個平面劃分成多少個部分？
解答：沒有直接時有1個空間
1條直線，1+1個空間
2條直線，1+1+2個空間
3條直線，1+1+2+3個空間
注意規律：1+1+2+3+...+1999=1999001
9. （瘋子坐飛機問題）飛機上有100個座位，按順序從1到100編號。有100個乘客，他們分別拿到了從1號到100號的座位，他們按號碼順序登機並應當對號入座，如果 他們發現對應號座位被別人坐了，他會在剩下空的座位隨便挑一個坐。現在假如1號乘客瘋了 (其他人沒瘋)，他會在100個座位中隨機坐一個座位。那麼第100人正確坐自己座位的概率是多少？ 注意登機是從1到100按順序的。
解答：這種問題，必須從簡單到複雜的考慮。先考慮只有兩個座位的情況，則最後一個人（即第2個人）做自己座位的概率是50%。
然後考慮三個座位的情況，若1號做了自己的座位，則3號百分之百做自己座位。若1號做2號座位，情況同1，則3號有50%的概率做自己座位。若1號做了3號的座位，則3號百分之0概率做自己座位。計算得出，3號有50%坐自己的座位。
規律是：50%
10. 25匹馬，一共5個跑道，試問至少比幾次可以選出1,2,3名。
解答：至少7次。前5次分別每5匹比較。假設選出的每次比賽的1，2名，分別爲：A1 A2；B1 B2；C1 C2；D1 D2；E1 E2。然後每組第一名比一次，假設名次爲A-E，則最後一次比賽的馬爲：B1 B2 C1 A2 A3。
11. 有一個100層高的大廈，你手中有兩個相同的玻璃圍棋子。從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎，用你手中的兩個玻璃圍棋子，找出一個最優的策略，來得知那個臨界層面。
解答：最簡單的方法是：從第一層開始丟，這樣最壞情況是99層。因爲題目中告訴我們從某一層扔下圍棋子就會碎，所以不是試100次。因爲手上有兩個圍棋，爲了發揮兩個的作用，考慮分段的方法，一個圍棋確定分段的區間，另一個圍棋確定在這個區間內的具體層數。假設分段是均勻的，則第二步的步驟數是固定的，這樣總的步驟數有第一階段的最大數確定。這樣投擲次數分佈不均勻了。按最壞情況估計，這種方法做多了幾次。爲了使最壞情況的投擲數最小，我們希望無論臨界區段在哪裏，總的投擲數都不變，也就是說投擲數均勻分佈。
既然第一階段（確定臨界段）的投擲數增加不可避免，我們就讓第二部（確定臨界層）的投擲數隨着第一步的次數增加而減少，且是一次一次減少。假設第一次投擲的層數是f，轉化爲數學模型就是要求，f+f-1+...+2+1>=99，即f=14。
即第一次在14層投，然後不碎去27樓，不碎去39樓。。。
方法二：設x個雞蛋扔y次可以測試F層，則F=f（x,y）.
f(1,1)=1，f(1,2)=2........f(1,n)=n
f(2,1)=1,對於f(2,2),先測試一次，如果第一個雞蛋沒有破,則測試該層之上的層數爲f(2,1),如果第一個雞蛋破了,則測試該層之下的層數爲f(1,1). 所以f(2,n)=1+f(1,n-1)+f(2,n-1).
因此f(2,1)=1, f(2,2)=3, f(2,3)=6, f(2,4)=10, f(2,5)=15, f(2,6)=21
=>f(2,n)=n*(n+1)/2
=>n=14