計算機組成原理知識點-第二章

計算機組成原理（第二章）

第二章思維導圖如下：

0. 數據類型

1. 按數制分：二值進制、十進制、八進制、十六進制。
2. 按數據格式分： 真值、機器數。
3. 按數據的表示範圍分：定點數、浮點數。
4. 按能否標識負數分：無符號數、有符號數。

1. 數據與文字的表示方法

1.1 數據格式

定點數

1. 定點數：小數點固定在某一位置的數據。
   • 純小數：$x_0 . x_{-1}x_{-2}x_{-3}……x_{-n}$
     • 表示形式：$x_s$ 爲符號位 ；$x_0$爲0。
       有符號數：$x=x_sx_{-1}x_{-1}……x_{-n}$ $|x|\le1-2^{-n}$
       無符號數：$x=x_0x_{-1}x_{-1}……x_{-n}$ $0 \le |x|\le1-2^{-n}$
   • 純整數：$x_{n} x_{n-1}x_{n-2}……x_{1}x_0$
     • 表示形式：$x_s$ 爲符號位 ；$x_n$爲數值位。
       有符號數：$x=x_sx_{n-1}……x_{1}x_{0} $ $|x|\le1-2^{-n}$
       無符號數：$x=x_nx_{n-1}……x_{1}x_{0}$ $0 \le |x|\le1-2^{-n}$
2. 定點機的特點：
   • 所能表示的數據範圍小；
   • 數據精度較低；
   • 存儲單元利用率低。

浮點數

1. 浮點數：小數點位置可變，形如科學計數法中的數據表示。

2. 格式定義：

   • M：尾數，是一個純小數，表示數據的全部有效數位，其位數決定數值的精度；
   • R：基數，可以取2、8、10、16，表示當前的數制；
   • e：階碼，是一個整數，用於指出小數點在該書中的位置，其位數決定數據的取值範圍；

3. 機器數的一般表示形式：

   階符	階碼	數符	尾數
   數符	階符	階碼	尾數

4. 規格化表示：

   • 要求：|尾數| $\ge$ 0.5，（ 是否爲規格化浮點數與階碼無關 ）；
     • 尾數原碼錶示：最高數值位爲1；
     • 尾數補碼錶示：最高數值位與符號位相反；
   • 處理：
     • 左規處理（數值向左移動）；
     • 右規處理（數值向右移動）；

5. 最值：

6. 32位浮點數的IEEE754標準表示：
   | 數符S | 階碼E | 尾數M |

   • 數符S：1位，表示浮點數的符號；
   • 尾數M：23位，原碼純小數表示，小數點在尾數域的最前面；
   • 階碼E：8位，採用有偏移值的移碼錶示（移127碼）；
   • 真值：$N=(-1)^S * (1.M)*2^{E-127}$

7. 	S	E	M
   正零	0	0000 0000	000……000
   負零	1	0000 0000	000……000
   正無窮	0	1111 1111	000……000
   負無窮	1	1111 1111	000……000

1.2 數的機器碼錶示

原碼

1. 定義：
   • 定點小數：
     $[x]_原 \begin{cases} x, & \text{1>x$\ge$0} \\[3ex] 1-x=1+|x|, & \text{0$\ge$ x>-1} \end{cases}$
   • 定點整數：
     $[x]_原 \begin{cases} x, & \text{$2^n$>x$\ge$0} \\[3ex] 1-x=1+|x|, & \text{0$\ge$ x>$-2^n$} \end{cases}$
2. 特點:
   • 0的有兩種表示法；$[+0]_原=0000；[-0]_原=1000$
   • 數據表示範圍：
     • 定點小數：$-1<x<1$
     • 定點整數：$-2^n<x<2^n$
   • 符號位與數值位不能一起參與運算

補碼

1. 定義：

   • 定點小數：
     $[x]_補 \begin{cases} x, & \text{1>x$\ge$0} \\[3ex] 2+x=2-|x|, & \text{0$\ge$ x$\ge$-1} \end {cases} (mod \ 2)$
   • 定點整數：
     $[x]_補 \begin{cases} x, & \text{$2^n$>x$\ge$0} \\[3ex] 2^{n+1} +x=2^{n+1}-|x|, & \text{0$\ge$ x $\ge$-$2^n$} \end {cases} (mod \ 2^{n+1})$

2. 特點：

   • 0的編碼唯一：0000
   • 數據表示範圍：
     • 定點小數：$-1<x<1$
     • 定點整數：$-2^n\le x<2^n$
   • 只要結果不溢出，符號位可與數值位一起參與運算
   • $[[x]_補]_補 = [x]_原$

3. 有原碼求補碼

   • 除符號位以外，其餘各位按位取反，末位加一；
   • 除符號位以外，從最低位開始，遇到的第一個1以前各位保持不變，之後各位取反。

4. 求相反數的補碼：由$[x]_補$求$[-x]_補$ （連同符號位的所有位一起取反，末位加一）。

移碼

1. 定義：
   $[x]_移=2^n+x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^n>x\ge-2^n$
2. 特點：
   • 0的表示方法唯一：1000；
   • 與補碼符號位相反，數值位相同；
   • 最高位爲0表示負數，爲1表示整數；
   • 可以較爲直觀的判斷兩個數據的大小（全爲0時所對應真值最小，全爲1時所對應真值最大）；
   • 表示浮點數階碼時，容易判斷是否下溢。

1.3 字符與字符串的表示方法

1. ASCII碼：8位，可表示128個字符，最高位爲0，最高位可進行奇偶校驗。
2. 字符串：連續的一串字符，每個字節存一個字符。

1.4 校驗碼

1. 數據校驗的基本原理是擴大碼距。
2. 碼距：任意兩個合法碼之間不同的二進制位的最少位數。

奇偶校驗碼

1. 原理：在數據中增加1位奇偶校驗位，是碼距有1增到2。
2. 類型：
   • 偶校驗：每個碼字(包括校驗位)中1的數目爲偶數；
   • 奇校驗：每個碼字(包括校驗位)中1的數目爲奇數。
3. 過程：
   • 發送端：按照校驗類型，在發送數據後添加校驗位P；
   • 接收端：對接收到的數據（包括校驗位）進行同樣類型的校驗，決定數據傳輸中是否存在錯誤。
4. 特點：具有檢錯能力（只能檢測有奇數個錯誤的情況），但無糾錯能力。

海明校驗碼

1. 原理：在一個數據中加入幾個校驗位，每個校驗位和某幾個特定的信息位構成偶校驗的關係；接收端對每個偶關係進行校驗，產生校驗因子；通過校驗因子區分無錯和碼字中的n個不同位置的錯誤；
2. 過程：

   • 確定校驗位的位數：

     • 設K爲有效信息的位數，r爲校驗位的位數，則整個碼字的位數N應滿足不等式：
       $N=K+r \le 2^r-1, \ \ \ \ \ \ \ \ (N,K)爲海明碼$

   • 確定校驗位的位置：

     • 每個校驗位$P_i$從低到高被分在海明碼中位號$2^{i-1}$的位置。

   • 校驗分組：

     • 海明碼的每一位Hi有多個校驗位校驗，其關係是被校驗的每一位位號等於校驗它的各校驗位的位號之和；
     • 每個信息位的位置寫成用2的冪次之和的形式 ；
       例如下圖：
       

   • 校驗位的形成：

     • $P_i$ ＝第i組中所有位(除$P_i$)求異或;
     • 爲了能檢測兩個錯誤，增加一位校驗$P_{j＋1}$，放在最高位;
     • $P_{i+1}$ ＝所有位(包括P)求異或。

   • 接收端校驗：

     • 接收端接收到數據後，分別求$S_1，S_2，S_3，…，S_i$ ：
       $S_i$＝第j組中所有位(包括$P_i$)求異或
       $S_{i+1}＝ P_{i+1}$ ⊕所有位(包括$P_1，P_2 ，… ， P_i$)求異或；
       當$S_{i+1}＝1$時，有一位出錯；
       由$S_i,……S_3 S_2 S_1$的編碼指出出錯位號，將其取反，即可糾錯。
       當$S_{i+1}＝0$時，無錯或有偶數個錯（兩個錯的可能性比較大）；
       當$S_i,……S_3 S_2 S_1=0……000$時，接收的數無錯，否則有兩個錯。
3. 特點：既能檢錯，又能糾錯。

2. 定點加法、減法運算

2.1 補碼加法

1. 定點整數： $[x+y]_補 = [x]_補+[y]_補 \ \ \ \ \ \ \ \ (mod \ \ 2^{n+1})$
2. 定點小數： $[x+y]_補 = [x]_補+[y]_補 \ \ \ \ \ \ \ \ (mod \ \ 2)$

2.2 補碼減法

1. 定點整數： $[x-y]_補 = [x]_補+[-y]_補 \ \ \ \ \ \ \ \ (mod \ \ 2^{n+1})$
2. 定點小數： $[x-y]_補 = [x]_補+[-y]_補 \ \ \ \ \ \ \ \ (mod \ \ 2)$

2.3 溢出概念與檢測方法

1. 溢出：在定點數機器中，數的大小超出了定點數能表示的範圍。
   • 上溢：數據大於機器所能表示的最大正數；
   • 下溢：數據小於機器所能表示的最小負數。
2. 判別方法：

   • 直接判別法：

     • 同號補碼相加，結果符號位與加數相反；
     • 異號補碼相減，結果符號位與減數相同。

   • 變形補碼判別法：採用雙符號位表示補碼。

     符號位	結果
     00	正
     01	上溢
     10	下溢
     11	負

   • 進位判別法：最高數值位的進位與符號位的進位是否相同。

3. 定點乘法運算

3.1 串行乘法

1. 乘法運算 ＝ 加法＋移位。
   若乘數數值位n = 4，則累加 4 次，移位4 次。
2. 乘法過程
   • 由乘數的末位決定被乘數是否與原部分積相加；
   • 被乘數只與部分積的高位相加；
   • 部分積右移一位形成新的部分積；
   • 同時乘數右移一位（末位移丟）；
   • 空出高位存放部分積的低位。
3. 硬件構成
   3個具有移位功能的寄存器、一個全加器。

原碼乘法（符號位與數值位分開計算）

1. 原碼一位乘
   數值位運算規則：

   • 被乘數和乘數均取絕對值參加運算，符號位單獨考慮；
   • 被乘數取雙符號位，部分積的長度同被乘數，初值爲0；
   • 從乘數的最低位Yn開始判斷：
   • 若Yn＝1，則部分積加上被乘數|X|，然後右移一位；
   • 若Yn＝0，則部分積加上0，然後右移一位。
   • 重複，判斷n次。

2. 原碼兩位乘
   數值位運算規則：

   • 部分積和被乘數均採用三位符號位；
   • 乘數末位增加1位C，其初值爲0，運算過程見表；

   乘數字長與運算步驟：

   • 若乘數字長爲偶數（不含符號），最多做n/2+1次加法，需做n/2次移位，最後一步不移位；
   • 若尾數字長n爲奇數（不含符號），增加一位符號0，最多做n/2+1次加法，需做n/2+1次移位，最後一步右移一位。