求三點共圓求圓心半徑及其推導(三角形外心)

問題引入

給定二維平面上三個不共線的點 $A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$, 求出他們形成的圓的圓心和半徑。

問題分析

計算幾何問題常用數形結合解決，不妨設圓心 $O(x,y)$，則滿足三個點到圓心的距離相同。我們可以用兩個等價方程來描述：

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\\\\(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2\tag1$

現在轉換爲兩個方程解兩個未知數 $x,y$ 的問題。上式化簡後可得兩個線性方程，使用克拉默法則可以容易解出答案。

公式推導

對公式 $(1)$ 分別移項展開消去二次項，得到：

$2(x_1-x_0)x+2(y_1-y_0)y=x_1^2-x_0^2+y_1^2-y_0^2\\\\2(x_2-x_0)x+2(y_2-y_0)y=x_2^2-x_0^2+y_2^2-y_0^2\tag2$

如此得到一組二元一次線性方程則，方程有解充要條件是係數矩陣行滿秩，容易發現無解當且僅當三點共線，即行列式(同時也是三點形成兩個向量的叉積)爲0，即

$(x_1-x_0)\times(y_2-y_0)-(x_2-x_0)\times(y_1-y_0)=0\tag3$

其他情況下均有解。方便起見以a,b,c,d,e,f,g來代替原係數，即：

$ax+by=c\\\\dx+ey=f\tag4$

其中：

$a=2(x_1-x_0)\\\\b=2(y_1-y_0)\\\\c=x_1^2-x_0^2+y_1^2-y_0^2\\\\d=2(x_2-x_0)\\\\e=2(y_2-y_0)\\\\f=x_2^2-x_0^2+y_2^2-y_0^2\tag5$

在有解情況下，由克拉默法則可得

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{ce-fb}{ae-db}$
$y = \frac{D_y}{D} = \frac{af-dc}{ae-bd}\tag6$

於是可在 $O(1)$ 內求出圓心，從而計算可得半徑。

代碼實現

node findO(const node &p,const node &q,const node &r){
    //input should be nonlinear
    double a = 2 * (p.x - q.x);
    double b = 2 * (p.y - q.y);
    double c = p.x * p.x + p.y * p.y - q.x * q.x - q.y * q.y;
    double d = 2 * (p.x - r.x);
    double e = 2 * (p.y - r.y);
    double f = p.x * p.x + p.y * p.y - r.x * r.x - r.y * r.y;
    double g = a*e-b*d;
    return {(c*e-f*b)/g,(a*f-d*c)/g};
}

例題

Geometry Problem
其實本題並不是求圓心模板題，但是考慮到本題去掉思維部分可以被視爲2-D版本三點共圓模板題，而且模板題確實難找，故當作模板題放在此處。

高維情況

三維三角形外心

給定三維空間上三個不共線的點$A(x_0,y_0,z_0)$ , $B(x_1,y_1,z_1)$ , $C(x_2,y_2,z_2)$ , 求出他們形成的圓的圓心和半徑。

依據數形結合思路，仍要先把幾何問題轉化爲代數問題：
$R = (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\\\\ \ \ \ = (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2\\\\\ \ \ = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2$

其中 $(x,y,z)$ 爲圓心座標，於是得到三個未知數兩個方程。要求解至少還需要一個方程。但是三個點可以確定一張平面，可以通過叉積得到法向量，構造平面方程，如此則轉化爲三元一次線性方程組，且方程係數比較容易求出。容易利用克拉默法則求三階行列式分別求出 $x,y,z$ 的數值。

n維度三角形外心

給定n維空間上三個不共線的點$A(x_0,y_0,z_0,...)$ , $B(x_1,y_1,z_1,...)$ , $C(x_2,y_2,z_2,...)$ , 求出他們形成的圓的圓心和半徑。

類推處理二維和三維情況下的方案，設圓心爲 $O(x,y,z,...)$。由等距性質得到兩個線性方程。在n維空間下，表徵一個二維平面平面，需要n-2個線性方程。於是綜合上述兩組方程得到n元一次線性方程組，高斯消元可以 $O(n^3)$ 處理得到方程的解。