魚的記憶[較爲重要的知識點/技巧]

傳說中魚只有7s的記憶。
而我不足7s的記憶。
真是悲傷TAT
記了什麼東西，一會就忘記了。

我當時初中的時候想去自學高中課程……
但是自己完全沒看懂。
其實不是自己看不懂而是自己“覺得”這個東西沒什麼用。
而且還”難”。
所以就選擇性的忘記了。
我不想我學過的SAM，LCT什麼的都變成選擇性忘記的東西。
真的決定，要麼一個東西完成100%.
要麼就一點都不要碰。

在此總結一些OI上的容易”忘記”的知識點：
以下雖然有標號，但是感覺是不分先後的。

1.單調性

掃左端點右端點單調。
習題：
1.n個正整數，m個區間，選k個使得交區間的和最大。
注意到，按照左端點排好序之後，掃描左端點的時候，右端點是單調不降的。
實際上，右端點是右側數第k個。
那麼開個線段樹隨便做。

2.容斥原理

容斥原理似乎很容易解決一些問題：
1.交集轉並集的補集。
大大走格子：
n*m的格子，有些點(1k)不能走，只能走右下，求方案數。
首先注意到任意走的話，可以寫成組合數的形式。
那麼我們容斥的話就要減掉所有的不合法的方案數。
注意到，如果第一個障礙不相同，那麼其他就不相同了。
而只要踩了一個障礙，那麼怎麼走都不合法。
這樣這個題就能解決了。
2.硬幣購物(放個板子題)
3.HDU5731(插頭DP+容斥)

3.分塊思想

有一些東西，我們可以根號大暴力。
比如說51nod的三個題：
1.求整數n的不同劃分方案數，一個劃分中不能有相同的數字。
對n分類：>sqrt(n)只能選根號個，小於根號的也不會超過500。
f[i][j]表示湊i用了j個數字。
那麼我們會發現實際上是在集合裏填數的過程，即要麼集合整體+1,要麼加入一個新數再整體+1.
隨便算。
2.求整數n的不同劃分方案數，一個劃分中可以有相同的數字。
對>sqrt(n)是可以用第一題的方法解決的，但是小於的話我們好像不太好解決。然而可以揹包。
那麼我們合併一下就完了。（注意大於的時候要設一個單位元）
3.你有n元錢。去買東西的時候，價格爲i的恰有i個。正好花完這n元的方案數是多少？
如果>sqrt(n)，那麼我們就是依舊的第二題。
小於的話顯然可以多重揹包，但是會發現T掉了。（廢話）
仔細看看就是個模意義下的前綴和？
解決了。。。
2016-11-21
Codeforces #380 div1.D
雖然注意到根號，但是完全不覺得有用，這就是死因所在。
我們一定要注意到奇特的地方，然後試圖去解決它。

4.黑科技建圖

我記得有個人的博客上寫了這一坨東西，大概是一個可持久化線段樹優化建圖的事情，具體題目在BZOJ的某個題有個”XXXXXXII”這個題面應該很好找。
PA2011 Journey
首先我們發現暴力建圖不可取。
然後如果想一想的話，實際上可以把這個連續的一段點拆成區間。
那麼我們考慮用某個點P去更新答案的時候，只需要看P所在的這段區間是否被之前的子節點更新過了就行，因爲這是bfs的過程。
我們發現每個區間必然只會更新一次，每個點必然也只會被更新一次。
那麼總複雜度是O (跑得過)。

5.前綴和

不會前綴和的人在BJOI都被6題暴力了。
1.BJOI的SBD1T3。
2.n個數，問所有區間中多少個區間平均值>=m。
我們來看這個題。
首先顯然的轉前綴和，這樣變成了s[r] - s[l - 1] >= len * m
不行，還不能做。
實際上，我們關於這個長度的定值，顯然也是可前綴和的！
s[i] = s[i] - i * m;
這樣的話我們就問有多少s[r] - s[l - 1] > 0。
離散化之後，枚舉左端點，右端點在樹狀數組中查詢。

6.離線算法

許多人啊。
他們不知道離線的可貴。
他們不知道只有刪除的題可以離線轉成只插入的題。
嗯沒錯我就是他們中的一員。
1.每次刪除一條邊，詢問聯通塊個數。
離線+並查集。
2.莫隊的題。
3.暴力分塊重構。
4.覆蓋問題(顯然每個點只需要倒着覆蓋一次即可)
……

7.倒着DP

習題1.獎勵關。
習題2.hzwer的模擬賽有一個很好玩的題。

8.數值的定義域

這個是什麼呢……
就是有個顯然的把所有數值都存起來的題，然而我沒想出來。
在做一些明顯有最大值最小的東西，然而還讓你變成最簡分數的題的時候，可以看看它的數值的定義域，是不是可以承受的級別。
~~爲什麼要墨跡這麼多呢，因爲我記不得題面了。~~

9.最短路

~~我SPFA寫拆點的題就沒有一次能想到拆點啊摔~~

10.要學會解方程

這裏的意思是，解一個方程的過程要寫出來。
比如

a x + b y = e

c x + d y = f

你並不知道

a,b,c,d 是否是正整數，所以這樣會很麻煩。
乾脆寫個高斯消元？
並不知道這種東西怎麼考慮。

11.用堆維護刪除序列

習題：鏈表+堆維護最大M子段和。

12.雙指針

習題1：n只寵物小精靈一共有m種，你要每種至少抓一隻，只能抓連續一段小精靈，求最小的區間長度。
注意這個轉移指針是O(1)的。
//好像如果能用雙指針轉移往往都是O(1)的啊
//一般來講前綴和+二分可以變成雙指針的形式。

13.常見貪心：

用大的帶小的：乘船問題什麼的。
每次合併兩個小的：合併果子。
balabala

14.暴力DP：

暴力DP的想法雖然大家都懂，就是先列一下樸素的方程，然後再說別的。
但是顯然對於這個題……
真的是想一想暴力就A了啊GG

考慮f[i][j][k]表示sum爲k，走到（i,j）。
然後沒了。

15.CDQ分治：

作爲一個能寫動態開點線段樹就懶得寫別的的時候。
被卡空間的時候真是喜聞樂見。
神TM不會CDQ分治啊……
以後能用CDQ就不寫數據結構了！
代碼能力–；
=> 代碼能力 < 0.

16.卡特蘭數

卡特蘭數f(n)是長度爲2n合法括號序列方案數。
其計算公式

(2 n n) - (2 n n + 1) = ( 2 n n ) n + 1

推導過程(ﾉ*･ω･)ﾉ
首先肯定是在

2m+1 位上第一次出現了右括號(記作0).
對於剩下的

(n−m) 個1以及

(n−m−1) 個0所能任意組成的序列個數，等價於

(n−m) 個0以及

(n−m−1) 個1所能任意組成的序列個數.
那麼實際上，對於所有的m，我們都計算一遍。
不過仔細想一想，實際上就是詢問長度爲

2n 序列中，有

n+1 個0的序列個數。
得證。

17.法裏級數

我們如果要得到以m爲分母的所有的真分數，那麼肯定是：
(1..i) / m
但是肯定有一些東西不是最簡分數。
我們知道，化簡之後肯定是一個p/q 的形式。
那麼我們把它都化簡之後，對於分母q 能得到:p/q ，(p,q)=1
我們知道，對於所有化簡之後的分母，我們能得到m 個最簡分數。這樣，我們推斷出一條性質：

\sum d | n φ (d) = n

估計這個很好玩，可以出題。

18.暴力建圖的優化

河裏有n個點，每個點上可以放m種盤子，每種盤子有代價。
現在問你在點上放盤子走到對岸的最小代價。
我們顯然能看出這是個最短路題，但是我們暴力拆點建圖的話，點數是O(nm) 的，但是邊數爆炸。
我們可以仔細考慮一下，實際上我們只需要對於點i的對應着第j個盤子向第j+1個盤子連代價差就行了。然後對於每個點，我們自己連自己的價格差就行，這樣邊數就降低到了O(n2m) .

19.刪除一類問題的單調性/永久性

bzoj 3069 可以發現，每個邊雙在刪除最後一條邊的時候，纔會被永久消除。我們倒過來插入，啓發式合併即可。但是由於自己太懶了，寫的LCT。
[PA2011]Journey 考慮到一個點如果被遍歷到了，實際上它就被永久刪除了，那麼我們開個set什麼的記錄一下，或者用鏈表刪掉它即可。

20.掃描線

掃描線和預處理不同，掃描線是你邊加入貢獻邊算答案，你並不知道未來/歷史的值，而預處理就是你知道過程中的所有的值。
我們來看SRM671的Div1600的題目：
給你一個序列s,問滿足a<b<c<d 且ac=bd 的四元組個數。序列長度小於等於1000.
如果我們採取預處理的辦法，是沒辦法得到答案的，因爲我們要記錄每一時刻的答案。那麼不妨倒着枚舉b，然後加入所有的(c,d)元組，再枚舉a來更新答案。

dwn(i,n)
{
    b = w[i];
    rep(j,i - 1)cal(a = w[j],b);
    c = w[i];
    rep(j,i + 1,n)add(c,d = w[j]);
}

似乎四元組的常見思路是想辦法枚舉中間兩個/把前兩個和後兩個獨立開來。
詢問[l,r]的數值個數。
[i,last[val[i]]]看作一個點，然後我們就需要知道橫座標在[l,r],縱座標[0,l-1]的矩形點數。
這個顯然可以1個log解決。
離線：掃描線
在線：可持久化

21.鴿巢原理

CF681A
構造題，題意：構造一個長度爲n的序列，使得這m個區間的mex值的最小值最大。
做法：如果考慮鴿巢原理的話，我們每1..len 就順序放排列，這樣的話顯然的一件事情就是對於長度大於len 的肯定能滿足條件。這就是鴿巢原理的應用。

22.查詢區間的小於一個數值的個數

這個顯然是主席樹/掃描線+樹狀數組。
題目：
一個n個節點的樹，m次詢問，每次詢問一個點u滿足dep[u] + val[u] >= dep[v]的v的個數。
顯然對dfs序建樹然後搞一搞就行了。

23.環<=>二分圖(注意特殊的度數情況)

環=>入度等於出度。
那麼意味着一個匹配。
BZOJ3171
直接建圖跑費用流即可。

24.寫遞推式

無論什麼時候，都不要忘記寫遞推式。
無論你覺得那個遞推式難不難寫。
收智商稅的時候到了：
SRM664D1L1：
兩堆石子。每次從大的裏撈出小的那部分，然後放到小的石子那堆裏。
問k次操作時候會變成啥樣。(int範圍)
交智商稅的時間到了！
叫你不寫遞推！
叫你不寫遞推！
叫你不寫遞推！
叫你不寫遞推！
叫你不寫遞推！
叫你不寫遞推！
令f[i] 表示第i 次的最小的那堆的數目。

f [i] = 2 * f [i - 1] < S U M ? (2 * f [i - 1]) : (2 * f [i - 1] - S U M)

快速冪解決即可。

25.點分治

點分治是解決樹上路徑問題的比較常用的做法。
我們解決點分治的時候，如果處理要過x的路徑，那麼通常會面臨算到了x的某個子樹裏面去這種問題。所以我們通用的一種做法是先計算答案，然後再Update一下這個子樹的貢獻。
還有一種想法是容斥，比如點分治的板子題，我們就用了容斥的思想，先什麼都不管暴力算一算，不管在不在子樹裏面，然後直接把子樹的這種暴力的答案減掉就行了。

26.樹思想

之前自己只知道一棵叫做dfs/bfs樹的東西。
現在知道了很多恐怖的東西。
比如點分樹(solve(x)調用的時候形成的樹)，fail樹(AC自動機的那個fail指針的樹)。
很多東西需要自己發現，而不是別人說：”告訴你，點分治形成了個樹”的時候，你才知道點分治會搞出個樹。

27.線段樹分治

我不得不說似乎這個東西挺妙的。
把插入刪除變成只有插入和撤銷兩種操作，還是挺好玩的。
另外還學到了並查集的啓發式合併，感覺非常開心。

28.歐拉定理

在b>φ(p) 的前提下：

a b mod p \equiv a b mod φ (p) + φ (p) mod p

29.平方與卷積

(a−b)2=(b−a)2 .
那如果在前面乘上一個f(a) ,就成卷積形式了，就可以FFT了！

30.斜率優化

其實是個很簡單的東西，把i 和j 分離，把只和j 有關的看作Yj ,然後把i,j 都有的那個j 那項看作橫座標，用i 那項去碰凸殼就行了。

31.極差的性質：

一段區間的子區間極差最大值：
顯然等於這段區間的極差。
因爲增長區間之後，最大值不降最小值不增，故極差不降。
一段區間的子區間極差最小值：
顯然等於每個相鄰兩個數的差值，理由是極差不降。
來自北京冬令營的T3。