金融時間序列分析：11. 模型分析小結

1. 自相關函數

自相關函數：Autocorrelation Function（ACF） ，是時間序列分析的基礎，沒有這個就不用分析了。
下面提到的幾點都是以這個概念爲基礎的。
自相關係數是從相關係數演變出來的，是用來表述時間序列中k個間隔的單元存在的相關性。
參考：金融時間序列分析：2. 數學分析模型

k階自相關函數：

γk=Cov(Yt,Yt−k)=E[(Yt−μ)(Yt−k−μ)]

自相關係數：

ρk=E[(Yt−μ)(Yt−k−μ)]Var(Yt)

2. 滯後算子

依然使用AR（2）模型來解釋

ρk=ϕ1ρk−1+ϕ2ρk−2,k≥2

其中：
ρ0=1
ρ1=ϕ11−ϕ2

由於上式ρk，ρk-2存在一個2階階差，看起來不直觀， 用滯後算子改寫以上公式

B=ρk−1ρk

改寫後：

(1−ϕ1B−ϕ2B2)ρk=0

如此就可以對滯後算子進行求解。
滯後算子描述了ACF的週期，衰減等方面的特性，具體參考：
金融時間序列分析：4. AR自迴歸模型

3. 模型參數

3.1 ACF, PACF,EACF

PACF,EACF是ACF的變種，ACF參考前文。
爲什麼可以用ACF定階？
ACF - ρk 表述的是k個間隔序列單元之間的相關程度。

上圖是GNP的ACF圖，上下虛線之間的區域是[-0.05, 0.05]，即爲不顯著區間，當兩個樣本的相關性在[-0.05, 0.05]區間中，其相關性不顯著，我們可以認爲二者不相關。
在來看上面那張圖：
k = 0: ρ = 1
k = 1: ρ > 0.05
k = 2: ρ > 0.05
….
此時可以判定該模型至少是2階，因爲間隔爲2時具有明顯的相關性。
假如說，當k > 2 時，|ρ| < 0.05，那麼就可以確定模型階數爲2 。但是之後還有|ρ| > 0.05情況，這時可以根據情況考慮：
（1）階數越高模型擬合越精確
（2）階數越高模型越複雜

3.2 AIC，BIC

信息準則，akaike information criterion（AIC）和bayesian information criterion（BIC）是評價模型優良的兩個指標。

AIC=−2ln(L)+2k

BIC=−2ln(L)+ln(n)∗k

讓我們來理解AIC的含義，AIC由兩部分組成，一部分是對數極大似然函數，另一部分則是參數的個數。極大似然函數是評價模型擬合優劣性的指標，值越大說明擬合的效果越好。然而使用過多的參數可以擬合的很好卻會出現過度擬合的情況，這樣的模型泛化能力很差，因此加上參數的個數實際上是對極大似然函數進行”懲罰“。選取AIC值最小的模型作爲最優模型，實質上是平衡了欠擬合和過擬合。

對於AR（l）模型來說：

在AIC中每個參數的懲罰係數都爲2，而在BIC中爲ln(l)，因此和AIC相比，樣本容量適度或者較大時，BIC傾向於選着低階模型。

實例：

AIC：
k = 9 最小，k = 3次之。

BIC:
k = 3最小

4. 擬合優度

擬合優度（goodness to fit）是用來如何衡量一個模型對數據的擬合的優劣，常用的統計量R2 ，其定義如下：

R2=1−殘差平方和總誤差平方和

對於AR（p）模型來說，假設有T個觀測值{x| t= 1, …., T}，

當R2 越大時，說明擬合效果越好。

5. 參考文獻

[1] 金融時間序列分析, Ruey S. Tray
[2] AR、MA及ARMA模型