理解位運算的第一步是理解二進制。二進制是指數字的每一位都是1或者0。比如十進制的2轉換成二進制之後是10，而十進制的10轉換成二進制之後是1010。在程序員圈子中有一則流傳了很久的笑話，說世界上有10種人，一種人知道二進制，而另一種人不知道二進制……
其實二進制的位運算並不是很難掌握，位運算總共只有5種運算：與/或/異或/左移/右移。如下表：
左移運算m << n 表示把 m 左移 n 位。左移 n 位的時候，將左邊的 n 位丟棄，同時在最右邊補上 n 個 0。比如：
00001010 << 2 = 0010100
10001010 << 3 = 01010000
右移運算符 m >> n 表示把 m 右移 n 位。在右移 n 位時候，最右邊的 n 位將被丟棄，同時處理左邊位的情形稍微複雜一點。如果數字是一個無符號數值，則用 0 填補最左邊的 n 位；如果數字是一個有符號數值，則用數字的符號位填補最左邊的 n 位。也就是說如果數字原先是一個證書，則右移之後在最左邊補 n 個 0 ；如果數字原先是附屬，則右移之後在最左邊補 n 個1。 比如：
00001010 >> 2 = 00000010
10001010 >> 3 = 11110001
面試題：二進制中 1 的個數
題目： 請實現一個函數，輸入一個整數，輸出該數二進制表示中 1 的個數。例如： 把9表示成二進制是1001，有2位是1。因此，如果輸入9，則該函數輸出2。
可能引起死循環的解法
基本思路： 先判斷整數二進制表示中的最右邊一位是不是1：接着把輸入的整數右移一位，此時原來處於右邊數起的第二位被移到最右邊了，再判斷是不是1：這樣每次移動一位，知道整個整數變成0爲止。如果一個整數與1做與運算的結果是1，則表示該整數最右邊一位是1，否則是0。基於這種思路，代碼如下：
int NumberOf1(int n)
{
int count = 0;
while(n)
{
if ( n & 1){
count++;
}
n = n >> 1;
}
return count;
}
在上述代碼中，使用右移1位的運算代替除以2的操作在實際代碼運行時候效率更高。因爲除法的效率比移位運算要低得多，在實際編程中應儘可能地用移位運算符代替乘除法。然而上述代碼確沒有考慮到負數的情況。如果輸入一個負數，比如0x80000000，則運行時候會發生什麼情況？當把負數0x80000000右移一位的時候，並不是簡單地把最高位的1移到第二位變成0xC0000000。因爲移位前是一個負數，仍要保證移位後是一個負數，因此移位後的最高位會設爲1。如果一直做右移運算，那麼最終這個數字就會變成0xFFFFFFFF而陷入死循環。
常規解法
爲了避免死循環，我們可以不右移輸入的數字 n 。首先把 n 和 1 做與運算，判斷 n 的最低位是不是1。接着把 1 左移一位得到2， 再和 n 做與運算，就能判斷 n 的次低位是不是 1 ……這樣反覆左移，每次都能判斷 n 的其中一位是不是1。基於這種思路，我們可以把代碼修改爲：
int NumberOf1(int n){
int count =0;
unsigned int flag =1;
while(flag){
if( n & flag){
count++;
}
flag=flag << 1;
}
return count;
}
注意在這個解法中循環的次數等於整數二進制的位數，32位的整數需要循環32次。即：循環終止的條件是flag爲0, 在32位操作系統上，unsigned int的最大賦值是2^31=2147483647，當2^32時候超過最大值flag被賦予0。
能給面試官帶來驚喜的解法
常規解法的時間複雜度是O(32），需要循環32次，下面的解法只需要幾遍循環即可（有幾個1就循環幾次）。
我們先分析一下把一個數減去1的情況。如果這個整數不等於0，那麼該整數的二進制表示中至少有一位是1。假設這個數的最右邊一位是1，那麼減去1時，最後一位變成0而其它位都保持不變。也就是最後一位相當於做了取反操作，由1變成了0。
接下來假設最後一位不是1而是0的情況。如果該整數的二進制表示中最右邊的1位於第m位，那麼減去1時，第m位由1變成0，而第m位之後的所有0都變成1，整數中的第m位之前的所有位都保持不變。舉個例子：一個二進制數1100，它的第二位時從最右邊數起的第一個1。減去1後，第二位變成0，後面兩位0變成1，前面的1保持不變，因此得到的結果時1011。
前面的兩種情況中，我們發現把一個整數減去1，都是把最右邊的1變成0，如果它的右邊還有0，則把所有的0都變成1，它左邊的所有位都保持不變。接下來我麼把一個整數和它減去1的結果做位與運算，相當於把它最右邊的1變成0。還是以前面的1100爲例，它減1的結果位1011。把1100和1011做位與運算，得到的結果時1000。我們把1100最右邊的1變成了0，結果剛好就是1000。
把上面的分析總結起來就是：把一個整數減去1，再和原整數做與運算，會把該整數最右邊的1變成0。那麼一個整數的二進制表示中有多少個1，就可以進行多少次這樣的操作。基於這樣的思路，我們可以寫出新的代碼如下：
int NumberOf1(int n)
{
int count=0;
while(n){
++count;
n = n & (n-1);
}
return count;
}
相關拓展
- 用一條語句判斷一個整數是不是2的整數次方。一個整數如果時2的整數次方，那麼它的二進制表示中有且只有一位時1，而其它所有位都是0。根據前面的分析，把這個整數減去1之後再和它自己做與運算，這個整數中唯一的的1就會變成0。
- 輸入兩個整數m和n，計算需要改變m的二進制表示中的多少位才能得到n。比如10的二進制表示爲1010，13的二進制表示爲1101，需要改變1010中的3位才能得到1101。我們可以分兩步解決這個問題：第一步求這兩個數的異或；第二步統計異或結果中1的位數。
參考資料
《劍指offer第二版》