loj10155：數字轉換：樹的直徑問題

題目連接

• 樹形DP專題

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題目大意

• 一個數字n，求n以內的數字之間 “約數和關係” 的最長鏈；
• 約數和關係：一個數字 $x$ 的約數和爲 $s[x]$ ；

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題目分析

• 由 約數和關係 可以想到，如果 $s[x]<x$ ，他們之間可以連一條雙向邊；題目就轉換爲了一個樹上，求直徑。
• 直徑的定義： 樹上最長的鏈。
• 求樹的直徑的方法1：用兩次dfs來完成
  $dfs1$ 從根出發，找到最遠的葉子結點 $k$；
  $dfs2$ 以 $k$ 爲根，出發，找到離他最遠的點 $t$ ， $k$ 與 $t$ 之間的距離就是直徑。
• 求直徑的做法2：dp的思維來實現
  搜索的過程中，同時記錄最長鏈與次長鏈，回溯的時候更新。

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解題思路1：兩次 $dfs$ 求直徑

• 如果 $s[x]<x$ ，他們之間可以連一條雙向邊；
• $dfs1$ 從根出發，找到最遠的葉子結點 $k$；
• $dfs2$ 以 $k$ 爲根，出發，找到離他最遠的點 $t$ ， $k$ 與 $t$ 之間的距離就是直徑。

參考代碼1

//loj10155-數字轉換
//求樹的直徑-兩次dfs求法 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500007;
struct node{
	int nex,to;
}e[N];
int n,ans,su[N];
int nx,lx;	//第一次的最遠點和最遠距離 
bool b[N];

int las[N],cnt;
void add(int x,int y){
	cnt++;
	e[cnt].nex=las[x];
	e[cnt].to=y;
	las[x]=cnt;
}
void dfs1(int x,int c){   			//找到最遠距離的點 nx 
	if(c>lx){
		lx=c;
		nx=x;
	}
	b[x]=1;
	for(int i=las[x];i;i=e[i].nex){
		int y=e[i].to;
		if(!b[y]) dfs1(y,c+1);
	}
	b[x]=0;
}
void dfs2(int x,int c){				//從nx出發，找反向最遠點 
	ans=max(ans,c);
	b[x]=1;
	for(int i=las[x];i;i=e[i].nex){
		int y=e[i].to;
		if(!b[y]) dfs2(y,c+1);
	}
	b[x]=0;
}
int main(){
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){			//求約數和 
		for(int j=2;j*i<=n;j++){
			su[j*i]+=i;
		}	
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){          //構圖 
		if(i>su[i]){
			add(i,su[i]);
			add(su[i],i);
		}
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(nx,0);
	cout << ans;
	return 0;
} 

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解題思路2： $dp$ 求直徑

• 因爲題面要求，對於$x$的約數和 $s[x]<x$ ，所以可以設定 $s[x]$ 爲父親節點， $x$ 爲子節點。
• dp的思維來實現
  搜索的過程中，同時記錄最長鏈 $d1[x]$ 與次長鏈 $d2[x]$，回溯的時候更新。
• 因爲這是一棵不確定根的樹，所以最後掃描一次所有的點，記錄最大的 $d1[x]+d2[x]$ 就是答案。

參考代碼2

//loj10155-數字轉換
//求樹的直徑-dp求法 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500007;

int n,ans,su[N];
int d1[N],d2[N];

int main(){
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){			//求約數和 
		for(int j=2;j*i<=n;j++){
			su[j*i]+=i;
		}	
	}
	// s[y] --> y  是 父親到兒子的樹邊 
	for(int y=n;y>=1;y--){
		if(su[y]>=y) continue; 		//約數和必須小於原數 
		int x=su[y];
		if(d1[x]<d1[y]+1){			
			d2[x]=d1[x];			//更新次長邊 
			d1[x]=d1[y]+1;			//更新最大邊 
		} 
		else if(d2[x]<d1[y]+1)
			d2[x]=d1[y]+1;			//更新次長鏈 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(d1[i]+d2[i]>ans) ans=d1[i]+d2[i];
	cout << ans;
	return 0;
}