雙調旅程問題算法描述

一、問題介紹：

歐幾里得旅行商問題是指：對於給定平面上的n個點，確定一條連接各點的、閉合的最短曲線這個問題是NP完全問題。Bitonic旅行路線問題是歐幾里得旅行商問題的簡化，這種旅行路線從最左邊開始，嚴格地由左至右到最右邊的點，然後再嚴格的由右至左回到開始點，求最短的路徑長度。設計一個確定最優Bitonic旅行路線的O(n² )時間算法。假設不存在x座標相同的點。

 

二、算法分析：

 

根據題意，首先將給定的n個點{p₁ ,p₂ ,…,p_n }按x座標的升序排列。在這裏，我採用了快速排序算法，時間複雜度爲O(nlogn)。對排好序的n個點進行分析很容易知道p₁ 是最左側的點，p_n 是最右側的點。

下面刻畫最優解的結構：首先定義路徑P_i,j (i<=j)，對於路徑P_i,j 來說，它包含的點爲p₁ ,p₂ ,..p_j 。其中p_i 點爲起始點，p_i,j 表示從p_i 點開始走，一直向左走到p₁ 然後從p₁ 點沿不同的路徑向右走直到p_j 。其次，定義數組d[i,j]表示p_i,j 路徑上的最小Bitonic路線。很容易看出，題目所求的即是d[n,n]。題目的最優解爲d[n,n]，此時，分析當p_n 點未連通的情況。因爲點是排好序的，而且根據題意中的嚴格方向的要求，可以知道p_n 點必有一側是跟p_n-1 點相連的，那麼此時d[n-1,n]應該爲p_n-1,n 的最優解。採用反證法，如果存在d’[n-1,n]<d[n-1,n]，那麼用d’[n-1,n]來替換d[n-1,n]就可以得到一個更小的d[n,n]，與已知d[n,n]爲最優解矛盾，因此假設不成立。

刻畫好了最優解的結構，下面遞歸定義求解最優解的值：當只有一個點時，d[1,1]無意義。分析大於等於兩個點的情況：當只有兩個點時，很容易得到：d[1,2]=|p₁ p₂ |。對於路徑P_i,j 來說，如果p_i 不是p_j 的相鄰點(i=j-1)，d[i,j]=d[i,j-1]+|p_j-1 p_j |；當i=j-1時，對於p_j 點來說，有一側必與p_i 點相連，此時要判斷p_j 點的另一側與哪個點相連。根據最優解的結構，此時，定義整數k(1<=k<j-1)，計算每個d[k,j-1]+|p_k p_j |的值，選擇其中最小的一個作爲d[i,j]的值，並且記錄k值，將p_j 與p_k 相連。

根據以上分析，可以得到d[n,n]的計算方法如下所示：

d[1,2]=|p₁ p₂ |

d[i,j]=d[i,j-1]+|p_j-1 p_j |(i<j-1)

d[i,j]=min_1<=k<j-1 {d[k,j-1]+|p_k p_j |}

d[n,n]=d[n-1,n]+|p_n-1 p_n |

接下來計算最優解的值，採用自底向上方法，在計算過程中，需要保存兩個值，第一個是數組d[i,j]的值，第二個是要記錄p_i,j 中p_j 點的相鄰連接點的下標，用數組pre[i,j]表示。算法如下所示：

Bitonic-tour(p)

Quicksort{p₁ ,p₂ ,…p_n } in order of increasing x-coordinate

d[1,2]←|p₁ p₂ |

for j←3 to n

do for i←1 to j-2

         do d[i,j] ← d[i,j-1]+|p_j-1 p_j |

            pre[i,j]=j-1

     d[j-1,j] ← ∞

     for k←1 to j-2

         do a←b[k,j-1]+|p_k p_j |

            if a<d[j-1,j]

               then d[j-1,j] ←a

                    pre[j-1,j] ←k

d[n,n]=d[n-1,n]+|p_n-1 p_n |

return d and pre

最後，構造問題的最優解：根據題意，題目應該輸出一個關於點集p的序列，這個序列即是題目中所求的旅遊路線。在這裏，我定義了輸出的方式爲從最右側的點p_n 開始輸出，依次輸出左行方向的點直到p₁ ，然後輸出右行方向的點直到和p_n 相連的那個點爲止。我們已知兩個表d[i,j]和pre[i,j]，輸出的算法描述如下所示：

Output-tour(p)

print p_n

print p_n-1

k←pre[n-1,n]

Print-tour(pre,k,n-1)

print pk

Print-tour(pre,i,j)

if i<j

then k←pre[i,j]

     print p_k

     if k>1

        then Print-tour(pre,i,k)

else k←pre[j,i]

     if k>1

        then Print-tour(pre,k,j)

             print p_k

 

有感：

    關鍵點的理解：就是排序後p1,...,pn-1,pn 這n個點，組成的最優解中，由於要求是雙調，所以pn一

定與pn-1這個點向連。所以就可以把一個求環的問題歸約成一個求簡單路徑的問題。

    這個簡單路徑就是pn-1嚴格遞減向左走到p1,然後p1在嚴格遞增向右走到pn.這個路徑恰好用到p1到pn這n個 點。求解思想就是動態規劃。