【Petrozavodsk WC 2018d2: ITMO U 1 Contest I】Is It a p-drome? 題解

題目大意

  給定一個長度爲 $n$ 的排列 $p_1\cdots p_n$，以及一個長度爲 $m$ 的數組 $s[1..m]$。
  對於長度爲 $n$ 的數組 $t$，如果滿足 $\forall i \in [1,n],t_i=t_{p_i}$，則稱 $t$ 是 p-drome。
  求 $s$ 每個長度爲 $n$ 的子串是不是 p-drome。

  $1 \leq n \leq m \leq 5 \times 10^5,~1 \leq s_i \leq 5 \times 10^5$
  6s

$\\$
$\\$
$\\$

這真是個有趣的題目

題解

  $t_i=t_{p_i}$ 不好判斷，用 $t_i \cdot y + t_{p_i} \cdot (-y) =0$ 來代替。

  於是我們弄一個 $a$ 數組，初始全 $0$，對於每個 $i \in [1,n]$，隨機一個 $y_i$，給 $a_i$ 加上 $y_i$，給 $a_{p_i}$ 減去 $y_i$。
  那麼如果 $\sum_{i=1}^n t_ia_i=0$，那就代表這個子串合法了。

  然後你發現這其實是個卷積。
  讀入的 $s$ 數組反序，跟 $a$ 做 NTT，把所有結果爲 $0$ 的位標出來就行了。

代碼

// 來自隊友

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,l,r) for (int i=l;i<=r;i++)
using namespace std;
const int N=1048576,K=19;
int n,m,c,a[N+10],b[N+10],A[N+10],B[N+10];
int P=998244353,G=3,g[K+10],ng[K+10],inv[N+10],inv2;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	while (y){
		if (y&1) ans=1ll*ans*x%P;
		x=1ll*x*x%P;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(int a[],int n,int t){
	for (int i=1,j=0;i<n-1;i++){
		for (int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
		if (i<j) swap(a[i],a[j]);
	}
	for (int d=0;(1<<d)<n;d++){
		int m=1<<d,m2=m<<1,_w=t==1?g[d]:ng[d];
		for (int i=0;i<n;i+=m2) for (int w=1,j=0;j<m;j++){
			int &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=1ll*w*A%P;
			A=B-t; if (A<0) A+=P;
			B=B+t; if (B>=P) B-=P;
			w=1ll*w*_w%P;
		}
	}
	if (t==-1) for (int i=0,j=inv[n];i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*j%P;
}
int main(){
	int i;
	for (g[K]=Pow(G,(P-1)/N),ng[K]=Pow(g[K],P-2),i=K-1;~i;i--){
		g[i]=1ll*g[i+1]*g[i+1]%P,ng[i]=1ll*ng[i+1]*ng[i+1]%P;
	}
	for (inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=N;i++) inv[i]=1ll*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;inv2=inv[2];
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
	int p1=4999999,now1=1,p2=786433,now2=1,x;
	rep(i,0,n-1){
		now1=1ll*now1*p1%P;
		now2=1ll*now2*p2%P;
		scanf("%d",&x); x--;
		a[i]=(a[i]+now1)%P; a[x]=(a[x]+P-now1)%P;
		A[i]=(A[i]+now2)%P; A[x]=(A[x]+P-now2)%P;
	}
	rep(i,0,m-1) scanf("%d",&b[i]);
	reverse(b,b+m);
	NTT(a,N,1); NTT(b,N,1); NTT(A,N,1);
	for (int i=0;i<N;i++) {
		a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
		A[i]=1ll*A[i]*b[i]%P;
	}
	NTT(a,N,-1); NTT(A,N,-1);
	for (int i=m-1;i>=n-1;i--) {
		if (a[i]==0&&A[i]==0) printf("1");
		else printf("0");
	}
	return 0;
}