洛谷 P2735 [USACO3.4]網 Electric Fences

題面

給出 n.m,p (n<=0，另兩者大於0)三個整數，構成三角形三個頂點是 $(0,0),(n,m),(p,0)$.
問有多少個格點（整點）在三角形內部，不包含邊上

分析

pick定理： 給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 A 和內部格點數目 i ，邊上格點數目 b滿足關係 $A=i+\dfrac{b}{2} -1$

這裏三角形的面積好算，邊上的點也可數（下面會說到），所以 i 是好算的。

邊上的整點數：
當 $(n,m)$ 的 n=0 或 n=p 時，會有一條垂直邊，垂直邊上的點數就是 m
對於斜邊，不難發現有 gcd 的數量。
比如 $(0,0)$ 到 $(9,6)$ 點，中間有 $(3,2),(6,4)$點。而 $gcd(9,6)=3$，當不計一個端點時，gcd 即邊上的整點數。

代碼

#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
//皮克定理: 面積A= 內部格點數i + 邊上點數b/2 -1 
int main()
{
    int n, m, p;
    cin >> n >> m >> p;
    int S = m * p;//面積的平方
    int linepointnum = p;//邊上點數
    if (n > 0)linepointnum += gcd(n, m);
    else linepointnum += m;
    if (n == p)linepointnum += m;
    else linepointnum += gcd(abs(n - p), m);
    cout << (S + 2 - linepointnum)/2;
    return 0;
}