【Hnoi2013】Bzoj3143 遊走
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Description
- 一個無向連通圖，頂點從1編號到N，邊從1編號到M。
小Z在該圖上進行隨機遊走，初始時小Z在1號頂點，每一步小Z以相等的概率隨機選 擇當前頂點的某條邊，沿着這條邊走到下一個頂點，獲得等於這條邊的編號的分數。當小Z 到達N號頂點時遊走結束，總分爲所有獲得的分數之和。
現在，請你對這M條邊進行編號，使得小Z獲得的總分的期望值最小。。
Solution
整體理解：a[i][j]表示從i號點走到j號點概率次數。由於走到n不走了，故a[n][i]=0。i→i爲-1。初始值a[1][n+1]=-1，代表從1號點出發次數爲1。然後Gauss消元求出每個點的期望經過次數，那麼對於一條邊ei，它的期望經過次數就爲e[i]=a[u[i]][n+1]/d[u[i]]+a[v[i]][n+1]/d[v[i]]，將邊的期望經過次數排序，根據貪心思想，次數多的邊賦小值答案更優，ans=e[i]*(m-i+1)。
模板：高斯消元還是第一次寫，O(n^3)。
深入理解：每一個未知數代表從這個點到達的次數，用它/出度即爲對與它相鄰邊貢獻。考慮一個點，到達次數f[i]=∑f[from]/d[from]，移到左邊-f[i]+∑f[from]/d[from]=0，特殊的，對於第一個點次數右邊等於-1，即開始從這裏出發，次數爲1。對於第n個點，有點奇怪，到這個點的次數爲0，這樣是爲了滿足條件到了n號點，就不會出去了，不會對其它點的值造成影響，而最後也不是要求每個點到達次數期望。而是每條邊的次數，而n也不會對與其相連的邊的期望次數造成影響，所以Accept。
Code
// <hang.cpp> - 08/01/16 15:30:38
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// I don't know what this program is.
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define MOD 1000000007
#define EPS 1e-10
#define INF 1e9
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=510;
const int MAXM=100010;
inline int max(int &x,int &y) {return x>y?x:y;}
inline int min(int &x,int &y) {return x<y?x:y;}
inline int getint() {
register int w=0,q=0;register char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')q=1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
return q?-w:w;
}
double ans;
int n,m,d[MAXN],u[MAXN*MAXN],v[MAXN*MAXN];
double a[MAXN][MAXN],e[MAXN*MAXN];
void Gauss(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int k=i+1;k<=n;k++)if(fabs(a[k][i])>fabs(a[i][i]))swap(a[k],a[i]);
for(int j=n+1;j>=i;j--)a[i][j]/=a[i][i];
for(int k=i+1;k<=n;k++)
for(int j=n+1;j>=i;j--)a[k][j]-=a[k][i]*a[i][j];
}
for(int i=n;i;i--)
for(int k=i-1;k;k--)a[k][n+1]-=a[k][i]*a[i][n+1];
}
int main()
{
freopen("hang.in","r",stdin);
freopen("hang.out","w",stdout);
n=getint();m=getint();
for(int i=1;i<=m;i++){
u[i]=getint();v[i]=getint();
d[u[i]]++;d[v[i]]++;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
a[u[i]][v[i]]+=1.0/d[v[i]];
a[v[i]][u[i]]+=1.0/d[u[i]];
}
for(int i=1;i<=n;i++)a[n][i]=0,a[i][i]=-1;
a[1][n+1]=-1;ans=0;Gauss();
for(int i=1;i<=m;i++)e[i]=a[u[i]][n+1]/d[u[i]]+a[v[i]][n+1]/d[v[i]];
sort(e+1,e+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++)ans+=e[i]*(m-i+1);
printf("%.3f\n",ans);
return 0;
}